eng
Выпуск #1/2023
А. П. Кузнецов
Тепловая жесткость металлорежущих станков. Физические основы. Оценка и управление. Часть 1. Система понятий жесткость для металлорежущих станков
Тепловая жесткость металлорежущих станков. Физические основы. Оценка и управление. Часть 1. Система понятий жесткость для металлорежущих станков
Просмотры: 370
DOI: 10.22184/2499-9407.2023.30.1.22.34
С точки зрения требований точности и прецизионности станков рассмотрены основные положения оценок жесткости и их описание в физических процессах упругого деформирования в качестве важного элемента, учитываемого при проектировании металлорежущих станков. Кроме того, рассмотрены вопросы воздействия на станок тепловых факторов, которые также приводят к температурным погрешностям и обусловливают изменение точности станка.
С точки зрения требований точности и прецизионности станков рассмотрены основные положения оценок жесткости и их описание в физических процессах упругого деформирования в качестве важного элемента, учитываемого при проектировании металлорежущих станков. Кроме того, рассмотрены вопросы воздействия на станок тепловых факторов, которые также приводят к температурным погрешностям и обусловливают изменение точности станка.
Теги: accuracy elastic machine tool precision rigidity structural approach thermal and thermoelastic structure of metal-cutting machine to жесткость прецизионность станок структурный подход тепловая и термоупругая структуры металлорежущего станка точность упругая
Тепловая жесткость металлорежущих станков. Физические основы.
Оценка и управление
Часть 1. Система понятий жесткость для металлорежущих станков
А. П. Кузнецов
С точки зрения требований точности и прецизионности станков рассмотрены основные положения оценок статической, динамической, тепловой жесткостей и их описание в физических процессах упругого деформирования в качестве важного элемента, учитываемого при проектировании металлорежущих станков.
Рассмотрены также вопросы воздействия на станок тепловых факторов, которые также приводят к температурным погрешностям и обусловливают изменение точности станка.
Существует лишь то, что можно измерить.
Макс Планк
В последние годы в обрабатывающей промышленности возросли требования к точности (рис. 1) и прецизионности станков и обрабатываемых на них деталей, а также к повышению производительности станков. Так, для металлорежущих станков нормальной и повышенной точности достижимая точность обработки в настоящее время находится в диапазоне 1–5 мкм, и если указанная тенденция сохранится, то в ближайшие 10–15 лет может быть достигнут стабильный диапазон точностей в пределах 0,1–1 мкм, что естественно потребует значительных усилий по исследованию процессов и механизмов достижения и обеспечения точности во всем спектре проблем – от проектирования и производства станков до систем управления их поведением (управления параметрами точности) в период их эксплуатации при обработке изделий.
Чтобы достичь необходимой (требуемой) точности и производительности станков или их максимальной ресурсоэффективности, необходимо определить наиболее важные и значимые характеристики, которые обусловливают и определяют выходные показатели и параметры станка, и в процессе проектирования применить методы оптимизации с несколькими переменными. В работах [1–3] обобщены, обоснованы и даны определения базовых понятий и методов их оценки:
точность – степень соответствия свойств предмета, объекта, системы, процесса, явления его номинальному, заданному, установленному, допустимому, идеальному значению или закону;
производительность – скорость изменения параметров, характеристик, свойств, состояния, структуры преобразуемой материи;
ресурсоэффективность (эффективность) – степень использования какого-либо ресурса (энергии, материала, времени, информации).
Данные, приведенные на рис. 1, позволяют оценить тенденции и закономерности развития, а также границы соотношений параметров, например, для новых станков сверхвысокой точности: общая достижимая точность станка, равная не менее 1 нм, и тогда суммарная жесткость станка должна быть более 40 Н / мкм. Аналогичные закономерности получены и для показателей производительности и эффективности [5].
Постоянно возрастающие требования к качеству выпускаемых металлорежущих станков также обуславливают необходимость совершенствования и разработки методов и средств оценки контроля их качества (как более общей характеристики технического уровня и конкурентоспособности) на разных стадиях их создания – от проектирования до эксплуатации. Погрешности станка объективно представляют собой измеренные значения, которые обеспечивают достоверную оценку свойств станка, включая его способность выдерживать в установленных условиях и пределах постоянные, переменные и периодические силовые и тепловые (температурные) воздействия (рис. 2).
Неподвижные и подвижные детали и узлы станка через функциональные связи и отношения образуют различные структуры металлорежущего станка, которые в зависимости от способа их формирования (связей и отношений) можно определить по типам как:
координатную;
компоновочную;
упругую;
динамическую;
тепловую;
термоупругую и др.
Отношения между деталями и узлами, а также их связи определяются видом и характером взаимодействия: жестким (неподвижным), упругим, термоупругим, упругопластическим. Изменение параметров, свойств, характеристик неподвижных и подвижных деталей и узлов, а также их функциональных связей и отношений происходят вследствие воздействия основных видов источников их дестабилизации, таких как силовые и температурные, которые могут быть как постоянными, так и периодическими, случайными и систематическими, внутренними и внешними.
В табл. 1 приведены основные физические процессы, которые описывают взаимосвязи параметров, характеризующие эти процессы, аналогичные процессам протекающим в станках при их работе.
Изучение любого физического явления сводится к установлению зависимости между величинами, характеризующими это явление. При проектировании металлорежущих станков рассматриваются физические процессы, обусловленные силовыми и тепловыми факторами воздействия на детали, механизмы, узлы и структуру станка в целом. Математическая формулировка физической задачи выбранной модели, которая адекватно описывает физическую сущность протекания процесса, приводит к записи уравнения в частных производных. К физическим процессам и явлениям, которые описываются уравнениями в частных производных относятся явления, рассматриваемые в теории теплопроводности, упругости, гидродинамики, электродинамики и т. п. В математическом описании этих явлений и решаемых в технике задачах содержится много общего не только по сути физических явлений, а и по структуре элементов, фактически описывающих эти явления. Решение такого уравнения с начальными и граничными условиями и определяет аналитическое описание связи параметров физического процесса. Уравнения в частных производных можно разделить на три основных типа:
параболические – содержащие первую производную по одной переменной и вторую – по другой, причем производные входят в уравнение с одинаковым знаком;
гиперболические – содержащие первую производную по одной переменной и вторую – по другой, которые входят в уравнение с разными знаками;
эллиптические – содержащие только вторые производные, причем одного знака.
Для рассматриваемого случая могут быть по аналогии описаны методы построения модели упругой, тепловой, термоупругой структур металлорежущего станка, которые формируют и определяют соответствующие им погрешности (см. рис. 2), а в табл. 1 приведены связи между величинами, описывающие физические явления, которые отражают соответствующее поведение и состояние станка, обусловливающее достижение требуемой точности, то есть явления – аналоги физического процесса в их математическом описании физической модели.
Следовательно выходные параметры, характеризующие свойства станка, будут определяться способностью системы сохранять в установленных пределах в течение времени требуемые положения, связи и отношения, обусловленные функциональными назначениями станка.
Все это обусловливает, формирует и определяет совокупность набора погрешностей (параметров точности) металлорежущего станка: геометрических, кинематических, упругих, динамических, температурных погрешностей, а также погрешностей управления (аппроксимации) и Аббе, которые (в отдельности) в достаточной для инженерного применения степени, а также в разной степени полноты научного обоснования описаны, систематизированы и представлены в отечественных и зарубежных стандартах.
Указанные на рис. 2 погрешности являются измеряемыми величинами, которые дают объективную оценку свойств станка, в том числе и его способности сопротивляться силовым и тепловым воздействиям.
Очевидно, что наиболее желательными характеристиками свойств станка являются параметры (показатели), которые однозначно определяют эти свойства и способность станка их обеспечивать и сохранять. Так, известно достаточно общее понятие жесткость, как способность сопротивляться силовым воздействиям, которая имеет размерность [н(кгс)/мкм], а способ контроля определяется ГОСТ 7035‑75, где в табл. 3 приведены в их историческом развитии понятия «жесткость» или «жесткость станка» или «жесткости узлов и деталей станка».
Рассмотрим основные положения оценок жесткости и их описание в физических процессах упругого деформирования с точки зрения их применимости в станках (см. рис. 2 путь формирования упругих погрешностей от силового воздействия на детали и узлы станка). Теория упругости рассматривает идеализацию твердого тела как свойство идеальной упругости [6, 7]. Идеальная упругость есть способность тела, получившего деформацию, после устранения причин, ее вызвавших, полностью восстановить свою форму. Работа, затраченная внешними силами на перемещения точек их приложения, принимается телом в обратимой форме – в форме накопления в нем упругой энергии, равной по величине работе внешних сил. Таким образом, идеально упругое тело выполняет первый закон термодинамики о сохранении энергии в изолированной системе. Способность идеально упругого тела не оставлять на себе никакого следа от прошлых нагружений приводит к тому, что такое тело всегда имеет форму, зависящую лишь от тех нагрузок, которые в данный момент действуют на тело, и не зависящую от того, как эти нагрузки росли. Тогда, теория упругости изучает действие сил на упругие тела и определяет возникающие при этом напряжения и деформации как в состоянии равновесия, так и в состоянии движения.
Реальные твердые тела под действием приложенных сил деформируются, то есть изменяют форму и размеры. Жесткость – способность материала сопротивляться упругим деформациям. В нагруженной конструкции неизбежно возникновение упругих деформаций и обусловленных ими перемещений отдельных точек конструкции, а расчет конструкции на жесткость должен обеспечить выбор таких ее размеров и характеристик, при которых упругие перемещения, вызванные рабочими нагрузками, будут лежать в допустимых пределах. По характеру воздействия и приложения к элементу конструкции внешние силы делят на объемные и поверхностные. Объемными силами являются силы тяжести конструкции и силы инерции, возникающие при ее ускоренном движении. Объемные силы действуют на каждый бесконечно малый элемент объема. Поверхностными силами являются нагрузки, передающиеся от одних элементов конструкции к другим. Поверхностные силы делятся на сосредоточенные и распределенные. Сосредоточенной считается сила, которая передается на деталь по площадке, размеры которой пренебрежимо малы в сравнении с размерами самой детали. Нагрузки, распределенные по поверхности, характеризуются давлением (отношением силы, действующей на элемент поверхности нормально к ней, к площади элемента) и выражаются в Па. Нагрузка, распределенная по длине элемента, характеризуется интенсивностью и выражается отношением силы, действующей на элемент, к его длине – Н / м. По характеру изменения во времени различают нагрузки статические, динамические, циклические. Статическими называются нагрузки, нарастающие медленно и плавно от нуля до конечного значения; достигнув его, далее не изменяются.
Возникающими при этом ускорениями можно пренебречь. Динамическими (ударными) называются нагрузки, изменяющиеся во времени с большой скоростью. Действие таких нагрузок приводит к колебаниям конструкции и возникновению сил инерции, пропорциональных колеблющимся массам и ускорениям. Эти силы инерции могут во много раз превосходить статические.
Нагрузки могут быть циклическими или повторными во времени, изменяясь по тому или иному закону. Различают повторные нагрузки с установившимся режимом (повторно периодические) и с неустановившимся режимом. Законы изменения нагрузок во времени могут иметь весьма сложный характер. Конструкции станков, их деталей и узлов, которые встречаются на практике, в большинстве случаев имеют сложную форму. Однако их отдельные элементы с той или иной степенью допустимой точности при расчетах можно свести к простейшим: брус, пластина, и т. п.
Перемещения точек тела, обусловленные его упругими деформациями, весьма малы по сравнению с размерами тела. Из этого допущения следует, что изменения в расположении сил, происходящие при деформации конструкции, не следует учитывать при составлении уравнений равновесия (при определении реакций связей), а также при определении внутренних сил. Это положение иногда называют принципом начальных размеров. Перемещения точек упругого тела в известных пределах нагружения прямо пропорциональны силам, вызывающим эти перемещения. Такие тела (системы) называют линейно деформируемыми, и они подчиняются закону Гука. Результат действия группы сил не зависит от последовательности нагружения ими конструкции и равен сумме результатов действия каждой из сил в отдельности. Это положение имеет название «принцип независимости действия сил» или принцип суперпозиции.
Как известно из положений теории упругости [6, 7] при растяжении бруса абсолютная упругая деформация прямо пропорциональна приложенной нагрузке:
, (1)
где k – коэффициент пропорциональности между силой и деформацией.
Зависимость (1) не учитывает размеры и материал деформируемого тела, то есть способность тела сопротивляться деформации. Чтобы учесть эту характеристику тела, перейдем от внешних сил к внутренним напряжениям: σ = F / A; и от абсолютной деформации – к относительной: ε = Δl / l и запишем:
, (2)
где Ε – коэффициент пропорциональности, который называют модулем продольной упругости материала (модуль упругости первого рода) – модуль Юнга. Эта физическая постоянная для каждого материала характеризует его жесткость. Чем больше это значение, тем жестче материал, тем лучше он сопротивляется упругим деформациям, тем меньше деформируется при данном напряжении и имеет ту же размерность, что и напряжение σ – МПа.
Зависимость (2) и называется законом Гука: продольные упругие деформации прямо пропорциональны нормальным напряжениям, а зависимость (1) – формула Гука, которая после преобразований может быть записана:
, (3)
где k – коэффициент жесткости; μ – коэффициент податливости; E – жесткость сечения при растяжении; A – площадь поперечного сечения.
Или в общем виде для различных видов нагрузок или изменений сечения запишем:
. (4)
Запишем общее уравнение растяжения-сжатия бруса (стержня) произвольного сечения, решение которого с граничными условия на граничных участках позволяет находить выражения для смещений:
, (5)
где q(x) – внешняя распределенная нагрузка; – продольное усилие в брусе; – граничные условия перемещений; – граничные условия для действующих сил. Например, при q(x) = 0, u(0) = 0, u(l) = Δl, F(x = l) =F получим, решая (5), аналогично выражению (3): . Следует отметить, что значение сил, действующих на деталь при растяжении-сжатии, находится из уравнения равенства всех сил в данном направлении, включая силы трения. Подробно вопросы учета сил трения рассмотрены в работе [8].
Аналогично приведем общее уравнение прогиба среднего сечения бруса, в плоскости YOX прямоугольной системы координат, общие выражения для угла поворота θ и прогиба y определяются:
, (6)
, (7)
, (8)
где M – изгибающий момент; I – момент инерции сечения бруса.
Так, для жестко закрепленной балки с одной стороны, когда угол поворота θ|x = 0 = 0 и прогиб y|x = 0 = 0 равны нулю, а на конце балки действует сила равная F. Учитывая, что из этого следует равенство нулю свободных членов Cθ = 0, Cy = 0, Dy = 0, из (7) и (8) получим:
;
, (9)
;
. (10)
В работе [9] получены зависимости на основании решения уравнений упругости и дано их приведение к инженерному виду (за счет введения коэффициентов и упрощений на основе экспериментов, что отражает конструктивные особенности станков) для расчетов изгиба и кручения балок коробчатого сечения с ребрами и без ребер жесткости. Указывается, что максимальная погрешность расчетных и экспериментальных данных не превышает 20% для различных случаев применения. На рис. 3 приведены современные конструкции колонн станков с разной структурой размещения ребер жесткости, а на рис. 4 показаны современные компоновки станков с оптимальной жесткостью упругой структуры.
На рис. 5 показан станок и эквивалентная схема для расчета и оптимизации параметров жесткости составных частей станка с использованием системы жестких балок (описана выше) и нагрузок, в том числе веса частей станка.
В настоящее время также часто используются численные методы (в основном метод конечных элементов), которые, в основном подтверждают результаты, полученные для приведенных к эквивалентным схемам балок различного сечения.
Общая жесткость станка и его эквивалентная силовая схема, как это следует из рис. 2, иллюстрируется на примере фрезерно-расточного станка (рис. 6) и зависит от ряда составляющих факторов и элементов, которые включают следующие элементы:
неподвижные и подвижные;
функциональные и присоединительные;
базовые и корпусные детали станка и их геометрическую конфигурацию, способы и виды их соединений;
материал элементов;
направляющие;
подшипники;
механические передаточные механизмы и т. п.,
которые образуют упругую систему станка, а упругая погрешность (смещение) определяется в центре приложения силы – точки центра инструмента (ТСР). Следовательно, задачей упругой системы станка является свойство обеспечения и сохранения во времени постоянного и минимально возможного изменения расстояния между инструментом (ТСР) и заданной точкой обрабатываемой детали, измеряемого по нормали к ее поверхности.
Тогда общая или суммарная жесткость будет определена, если элементы упругой структуры представить как пружины, которые соединены последовательно (11), или параллельно (12), или последовательно и параллельно (13), то суммарный коэффициент жесткости может быть записан в виде:
, (11)
, (12)
, (13)
где ki, ki + m – жесткость элемента; i – количество последовательно соединенных элементов, m – количество паралельно соединенных элементов.
Линейная зависимость между деформацией и усилием в линейно-упругом диапазоне материала имеет место только в бесстыковых компонентах, а не с внутренним или внешним трением. Характерные линейные графики зависимости в реальных узлах и машинах обычно имеют непропорциональное изменение деформации. Это постепенное изменение (увеличение) жесткости в первую очередь зависит от активных поверхностей [10, 13] в зонах контакта.
Из этого следует, что необходимая или требуемая общая жесткость станка может быть достигнута только в том случае, если все элементы в пределах потока усилий имеют жесткость, взаимосвязанную и взаимообусловленную соответствующими другими компонентами. Так, во многих работах авторы указывают, что общая жесткость станка зависит от нескольких факторов, включая конфигурацию и размещение элементов станка, материал, механические передаточные механизмы, направляющие и контроллер. Тогда информацию о коэффициентах жесткости станка в целом предлагается [14] рассматривать в декартовой системе координат и записать в виде:
, (14)
где – вектор размерностью 6 × 1 действующих сил и моментов вдоль осей X, Y, Z (в Н и Н/рад соответственно); – величины значений малых смещений вдоль и поворотов вокруг осей (в м и рад. C соответственно); – матрица жесткости [6 × 6].
В работе [14] также указывается, что традиционные определения значений жесткости получают для двух частных случаев смещений тела: либо чистого перемещения, либо чистого вращения. В первом случае значение жесткости представляет собой величину силы, обусловливающую единичное линейное перемещение, а во втором случае – это крутящий момент, вызванный единичным угловым перемещением. Однако в общем случае, в котором тело испытывает как силовые нагрузки, так и крутящие моменты, традиционное определение значения жесткости недостаточно корректно и не всегда применимо, поскольку евклидова норма вектора δ не имеет физического смысла из-за неоднородности его единиц измерения. Для оценки значения жесткости в общем случае, когда тело подвергается как угловым, так и поступательным перемещениям, предлагается значение коллинеарной жесткости (collinear stiffness value – CSV):
,
где при ; – смещения в направлении осей; при ; – косинусы углов, а минимальные из возможных значений будут равны соответственно: и . Тогда соотношения , предложено называть оценкой жесткости, а изменение оценки жесткости, определяемое как отношение максимальной и минимальной оценок жесткости , (чем меньше отклонение от номинальной жесткости, то есть чем ближе оно к единице, тем лучше характеристики жесткости машины) является более полной характеристикой качества жесткости станка.
Таким образом, и , и , если рассматривается только линейная составляющая упругой жесткости узлов и деталей как твердого тела, а общая жесткость станка оценивается на основании зависимостей (11–13). В реальных случаях, когда необходимо учитывать конструктивную податливость деталей машины, контактную жесткость и трение, мы имеем и .
Линейная зависимость между деформацией и усилием в линейно-упругом диапазоне материала имеет место только в бесстыковых компонентах и без внутреннего или внешнего трения. Характерные линейные графики зависимости в реальных узлах и машинах обычно имеют непропорциональное изменение деформации. Это постепенное изменение (увеличение) жесткости в первую очередь зависит от активных поверхностей в зонах контакта. Для оценок влияния свойств материалов деталей станков в табл. 2 приведены указанные характеристики, входящие в зависимости (2–10) по определению деформаций.
Конструкции, большинство из которых имеют гетерогенную структуру, под действием внешних нагрузок совершают колебания, энергия которых за счет наличия внутреннего или внешнего трения поглощается в материале конструкции и рассеивается в виде тепловой энергии во внешнюю среду.
Чем больше разнородных материалов входит в конструкцию, тем эффективнее рассеяние энергии при внезапных импульсных или непериодических нагрузках.
В работах [14, 15, 16] даны базовые понятия, определения, зависимости и решения основного уравнения динамики для различных исходных и граничных условий, методы оценки динамического качества конструкций станков, приводятся примеры анализа и оптимизации параметров при проектировании. Основное уравнение динамики записывается в виде:
или
, (15)
где m, c и k, соответственно, представляют эквивалентную массу, демпфирование и жесткость станка, приведенные к центру инструмента (ТСР); – собственная частота колебаний (при с = 0); – коэффициент демпфирования (для механических конструкций всегда ).
Динамические силовые нагрузки описываются во времени, как правило, периодической функцией, которая, в свою очередь, может быть представлена в виде ряда Фурье:
.
Основная задача анализа динамической системы станка – выявление прямых и обратных связей между упругой системой станка и рабочими процессами в подвижных соединениях [14]. В результате анализа выявляют параметры и смещения, которые влияют на протекание заданных рабочих процессов с требуемыми характеристиками. Решение уравнения (15) достаточно для получения АФЧХ и интегрального коэффициента демпфирования и амплитуд. Несмотря на сложность несущей системы станка, каждый резонанс определяет, как правило, какой-нибудь один элемент из многих. Замкнутая система станка, состоящая из устойчивых элементов, может оказаться в целом неустойчивой, и наоборот, может оказаться устойчивой при наличии некоторых неустойчивых элементов. Все указанные противоречия снимаются, если строить выводы на основании положений работы [14] о замкнутости динамической системы станка.
В качестве примера схематизации станка и представления его динамической системы в виде многих тел с упругими и диссипативными связями на рис. 7 приведена такая структура станка, которая включает в себя пять компонентов и 50 степеней свободы: степени свободы 1–10 представляют основание, степени свободы 11–20 представляют колонну, степени свободы 21–30 – шпиндельную бабку, 31–40 и 41–50 представляют собой подвижные рабочие органы соответственно в X и Y направлениях.
Как отмечалось ранее, на станок, кроме силовых факторов, воздействуют и тепловые, которые также приводят к температурным погрешностям и обусловливают изменение точности станка, а также нарушают стабильность требуемого относительного взаимного положения инструмента (ТСР) и обрабатываемой на станке детали. В работах [18, 19] рассмотрены методы построения и анализа тепловой, температурной и термоупругой систем станка.
Методы теплопроводности и термоупругости позволяют сформулировать и записать основные выражения теории термоупругости, которые, например, по аналогии (табл. 1) для стержневых систем, как упругой системы станка, можно записать в следующем виде:
, (16)
,
, (17)
где – оператор Лапласа; μ – коэффициент Пуассона; ε – относительное объемное расширение; β – коэффициент линейного расширения; G – модуль сдвига; E – модуль упругости; – нормальные напряжения; – функция распределения температурного поля.
Решение уравнений (16, 17) с граничными условиями на перемещения и на нагрев позволяет найти решение по определению смещений, обусловленных изменением температуры.
Для простейшего случая неравномерного нагрева балки прямоугольного сечения получим следующие соотношения, аналогичные тому, как это получено для упругого поведения бруса:
, (18)
при
при . (19)
Тогда решение уравнения (18) с граничными условиями (19) будет иметь вид:
. (20)
В случае, когда имеется неравномерное распределение температуры по высоте балки, возникают изгибающие напряжения, которые приводят к изгибу балки, вследствие момента:
,
а напряжение будет:
.
Тогда решая, получим величину изгиба нейтральной линии балки:
для свободно лежащей балки величина прогиба будет равна:
;
для защемленной на одном конце балки величина прогиба будет равна:
,
где L, 2c, 2b – соответственно длина, высота и ширина балки, – неравномерность температуры по высоте балки.
В табл. 3 приведены в исторической последовательности основные понятия о статической, динамической и тепловой жесткости станков.
Тогда, учитывая сказанное, можно сделать вывод, что «Инженерные методы оценки и/или определения параметров и характеристик жесткости станка – это экспериментально подтвержденное обоснование степени, точности и пределов применимости методов и способов приведения и/или идеализации реальных деталей, узлов и станка к моделям и видам, для которых разработаны, обоснованы и получены теоретические выражения и функциональные зависимости в границах сформулированных и принятых условий их существования и окружения для указанного диапазона рассматриваемых параметров».
Как видно из приведенных физических закономерностей, в настоящее время для расчета тепловой (температурной) жесткости станка не существует приближенных зависимостей, аналогичных расчету упругих деформаций. Как это видно из приведенных методов физических процессов (табл. 1), в отличие от упругих и динамических процессов (воздействие приложены в точке ТСР инструмента и являются вектором), температурные или тепловые воздействия в виде изменяющейся температуры не являются векторной величиной и изменяют термоупругое состояние и смещения элементов всей термоупругой системы. И следствием являются малые изменения положения ТСР (из-за деформаций всего станка и элементов), а не воздействие на него в понятной точке упругой системы. Для тепловых воздействий существуют попытки законом, аналогичным по структуре закону Гука, определить понятие «термической (тепловой или температурной) жесткости», как способности конструкции препятствовать термическим воздействиям и определять ее частным от деления потерь мощности на возникаюшую максимальную деформацию в выбранных координатах при определенном режиме работы станка. Количественное значение этого параметра может также определяется как отношение потерь мощности к максимальному изменению выходного параметра станка по соответствующим координатам за этот же промежуток времени. Также предлагается параметр свойства конструкции противодействовать термическим возмущениям: в количественном выражении для линейных величин это мкм/кВт, а для угловых – град/кВт по каждому выходному параметру станка, как отношение величины перемещения к моменту окончания очередного цикла термического воздействия к величине потребляемой энергии на это время.
Из этого следует очевидная и сущностная разница применения понятий жесткость и термическая жесткость, так как в первом случае четко фиксировано место приложения силы и место измерений, а во втором случае – фиксировано то же самое место измерения, а величина и место теплового воздействия являются неопределенной величиной. Очевидно, что такая «объективная» оценка не может служить основанием для оценки управления тепловым поведением станка.
Литература
Кузнецов А. П. Эволюция методов оценки точности металлорежущих станков и тенденции ее изменения. Часть 1. Эволюция понятия точность и ее физическая модель // Вестник машиностроения. 2016. № 12. С. 8–16.
Kuznetsov A. P., Koriath H.-J. Energy – information regularities of increasing productivity in metalworking machine tools. EPJ Web Conf. V. 224, 2019. IV International Conference “Modeling of Nonlinear Processes and Systems”, MNPS‑2019. PP. 1–8.
Putz M., Koriath H.-J., Kuznetsov A. P. Resource consumption classes of machine tools. Special Issue | HSM 2019 15th International Conference on High Speed Machining October 8–9, 2019, Prague, Czech Republic. MM Science Journal. PP. 3301–3309.
Van de Vijver W., Houben M., Van Brussel H., Reynaerts D. Piezomotors: an enabling technology. Publisher: Nederlandse Vereniging voor Precisietechnologie Mikroniek: 2009; V. 49; iss. 1. PP. 20–27.
Thermo-energetic Design of Machine Tools. Editor Knut Großmann. Springer International Publishing Switzerland. 2015. P. 262.
Тимошенко С. П., Гудьер Дж. Теория упругости. М.: Наука. Главная редакция физико-математической литературы, 1979. 560 с.
Хан X. Теория упругости: Основы линейной теории и ее применения. М.: Мир, 1988. 344 с.
Чернянский П. М. Основы проектирования точных станков. Теория и расчет. М: КНОРУС, 2010. 240 с.
Каминская В. В., Левина З. М., Решетов Д. Н. Станины и корпусные детали металлорежущих станков. Расчет и конструирование. М.: Государственное научно-техническое издательство машиностроительной литературы. 1960. 364 с.
Brecher Chk., Weck M. Machine tools – Design, calculation and metrological assessment.V2.Springer-Verlag GmbH Germany, part of Springer Nature 2021. 840 p.
Кузнецов А. П. О материалах в станкостроении // Станкоинструмент. 2019. № 1. С. 44–55.
Han Wang, Tianjian Li, Xizhi Sun, Diane Mynors, Tao Wu. Optimal Design Method for Static Precision of Heavy-Duty Vertical Machining Center Based on Gravity Deformation Error Modelling. Processes 2022, 10, 1930, doi.org/10.3390/pr10101930. PP. 1–20.
Левина З. М., Решетов Д. Н. Контактная жесткость машин. М.: Машиностроение, 1971. 264 с.
Portman V. T., Chapsky V. S., Shneor Y., Ayalon E. Machine stiffness rating: Characterization and evaluation in design stage. Procedia CIRP , v. 36, 2015, pp. 111–11.
Кудинов В. А. Динамика станков. М.: Машиностроение, 1967. 360 с.
Rivin E. I. Handbook on Stiffness & Damping in Mechanical Design, ASME Press, New York, NY, 2010. 734 p.
Altintas Y. Manufacturing automation: metal cutting mechanics, machine tool vibrations, and CNC design. Cambridge University Press, New York, 2012. 360 p.
Chunhui Li, Zhiqiang Song, Xianghua Huang, Hui Zhao, Xuchu Jiang, Xinyong Mao Analysis of Dynamic Characteristics for Machine Tools Based on Dynamic Stiffness Sensitivity. Processes 2021, 9, 2260, pp. 1–16.
doi.org/10.3390/pr9122260
Кузнецов А. П. Тепловые процессы в металлорежущих станках. М.: Техносфера, 2019. 488 с.
Кузнецов А. П. Тепловой режим металлорежущих станков. М.: МГТУ «Станкин», Янус – К, 2013. 480 с.
Kuznetsov A. P., Koriath H.-J. Thermal stiffness – a key accuracy indicator of the machine tools. MM Science Journal, 2021,| Special Issue on ICTIMT2021. PP. 4548–4555.
Автор
Кузнецов Александр Павлович – доктор технических наук, профессор кафедры станков МГТУ «Станкин»
Оценка и управление
Часть 1. Система понятий жесткость для металлорежущих станков
А. П. Кузнецов
С точки зрения требований точности и прецизионности станков рассмотрены основные положения оценок статической, динамической, тепловой жесткостей и их описание в физических процессах упругого деформирования в качестве важного элемента, учитываемого при проектировании металлорежущих станков.
Рассмотрены также вопросы воздействия на станок тепловых факторов, которые также приводят к температурным погрешностям и обусловливают изменение точности станка.
Существует лишь то, что можно измерить.
Макс Планк
В последние годы в обрабатывающей промышленности возросли требования к точности (рис. 1) и прецизионности станков и обрабатываемых на них деталей, а также к повышению производительности станков. Так, для металлорежущих станков нормальной и повышенной точности достижимая точность обработки в настоящее время находится в диапазоне 1–5 мкм, и если указанная тенденция сохранится, то в ближайшие 10–15 лет может быть достигнут стабильный диапазон точностей в пределах 0,1–1 мкм, что естественно потребует значительных усилий по исследованию процессов и механизмов достижения и обеспечения точности во всем спектре проблем – от проектирования и производства станков до систем управления их поведением (управления параметрами точности) в период их эксплуатации при обработке изделий.
Чтобы достичь необходимой (требуемой) точности и производительности станков или их максимальной ресурсоэффективности, необходимо определить наиболее важные и значимые характеристики, которые обусловливают и определяют выходные показатели и параметры станка, и в процессе проектирования применить методы оптимизации с несколькими переменными. В работах [1–3] обобщены, обоснованы и даны определения базовых понятий и методов их оценки:
точность – степень соответствия свойств предмета, объекта, системы, процесса, явления его номинальному, заданному, установленному, допустимому, идеальному значению или закону;
производительность – скорость изменения параметров, характеристик, свойств, состояния, структуры преобразуемой материи;
ресурсоэффективность (эффективность) – степень использования какого-либо ресурса (энергии, материала, времени, информации).
Данные, приведенные на рис. 1, позволяют оценить тенденции и закономерности развития, а также границы соотношений параметров, например, для новых станков сверхвысокой точности: общая достижимая точность станка, равная не менее 1 нм, и тогда суммарная жесткость станка должна быть более 40 Н / мкм. Аналогичные закономерности получены и для показателей производительности и эффективности [5].
Постоянно возрастающие требования к качеству выпускаемых металлорежущих станков также обуславливают необходимость совершенствования и разработки методов и средств оценки контроля их качества (как более общей характеристики технического уровня и конкурентоспособности) на разных стадиях их создания – от проектирования до эксплуатации. Погрешности станка объективно представляют собой измеренные значения, которые обеспечивают достоверную оценку свойств станка, включая его способность выдерживать в установленных условиях и пределах постоянные, переменные и периодические силовые и тепловые (температурные) воздействия (рис. 2).
Неподвижные и подвижные детали и узлы станка через функциональные связи и отношения образуют различные структуры металлорежущего станка, которые в зависимости от способа их формирования (связей и отношений) можно определить по типам как:
координатную;
компоновочную;
упругую;
динамическую;
тепловую;
термоупругую и др.
Отношения между деталями и узлами, а также их связи определяются видом и характером взаимодействия: жестким (неподвижным), упругим, термоупругим, упругопластическим. Изменение параметров, свойств, характеристик неподвижных и подвижных деталей и узлов, а также их функциональных связей и отношений происходят вследствие воздействия основных видов источников их дестабилизации, таких как силовые и температурные, которые могут быть как постоянными, так и периодическими, случайными и систематическими, внутренними и внешними.
В табл. 1 приведены основные физические процессы, которые описывают взаимосвязи параметров, характеризующие эти процессы, аналогичные процессам протекающим в станках при их работе.
Изучение любого физического явления сводится к установлению зависимости между величинами, характеризующими это явление. При проектировании металлорежущих станков рассматриваются физические процессы, обусловленные силовыми и тепловыми факторами воздействия на детали, механизмы, узлы и структуру станка в целом. Математическая формулировка физической задачи выбранной модели, которая адекватно описывает физическую сущность протекания процесса, приводит к записи уравнения в частных производных. К физическим процессам и явлениям, которые описываются уравнениями в частных производных относятся явления, рассматриваемые в теории теплопроводности, упругости, гидродинамики, электродинамики и т. п. В математическом описании этих явлений и решаемых в технике задачах содержится много общего не только по сути физических явлений, а и по структуре элементов, фактически описывающих эти явления. Решение такого уравнения с начальными и граничными условиями и определяет аналитическое описание связи параметров физического процесса. Уравнения в частных производных можно разделить на три основных типа:
параболические – содержащие первую производную по одной переменной и вторую – по другой, причем производные входят в уравнение с одинаковым знаком;
гиперболические – содержащие первую производную по одной переменной и вторую – по другой, которые входят в уравнение с разными знаками;
эллиптические – содержащие только вторые производные, причем одного знака.
Для рассматриваемого случая могут быть по аналогии описаны методы построения модели упругой, тепловой, термоупругой структур металлорежущего станка, которые формируют и определяют соответствующие им погрешности (см. рис. 2), а в табл. 1 приведены связи между величинами, описывающие физические явления, которые отражают соответствующее поведение и состояние станка, обусловливающее достижение требуемой точности, то есть явления – аналоги физического процесса в их математическом описании физической модели.
Следовательно выходные параметры, характеризующие свойства станка, будут определяться способностью системы сохранять в установленных пределах в течение времени требуемые положения, связи и отношения, обусловленные функциональными назначениями станка.
Все это обусловливает, формирует и определяет совокупность набора погрешностей (параметров точности) металлорежущего станка: геометрических, кинематических, упругих, динамических, температурных погрешностей, а также погрешностей управления (аппроксимации) и Аббе, которые (в отдельности) в достаточной для инженерного применения степени, а также в разной степени полноты научного обоснования описаны, систематизированы и представлены в отечественных и зарубежных стандартах.
Указанные на рис. 2 погрешности являются измеряемыми величинами, которые дают объективную оценку свойств станка, в том числе и его способности сопротивляться силовым и тепловым воздействиям.
Очевидно, что наиболее желательными характеристиками свойств станка являются параметры (показатели), которые однозначно определяют эти свойства и способность станка их обеспечивать и сохранять. Так, известно достаточно общее понятие жесткость, как способность сопротивляться силовым воздействиям, которая имеет размерность [н(кгс)/мкм], а способ контроля определяется ГОСТ 7035‑75, где в табл. 3 приведены в их историческом развитии понятия «жесткость» или «жесткость станка» или «жесткости узлов и деталей станка».
Рассмотрим основные положения оценок жесткости и их описание в физических процессах упругого деформирования с точки зрения их применимости в станках (см. рис. 2 путь формирования упругих погрешностей от силового воздействия на детали и узлы станка). Теория упругости рассматривает идеализацию твердого тела как свойство идеальной упругости [6, 7]. Идеальная упругость есть способность тела, получившего деформацию, после устранения причин, ее вызвавших, полностью восстановить свою форму. Работа, затраченная внешними силами на перемещения точек их приложения, принимается телом в обратимой форме – в форме накопления в нем упругой энергии, равной по величине работе внешних сил. Таким образом, идеально упругое тело выполняет первый закон термодинамики о сохранении энергии в изолированной системе. Способность идеально упругого тела не оставлять на себе никакого следа от прошлых нагружений приводит к тому, что такое тело всегда имеет форму, зависящую лишь от тех нагрузок, которые в данный момент действуют на тело, и не зависящую от того, как эти нагрузки росли. Тогда, теория упругости изучает действие сил на упругие тела и определяет возникающие при этом напряжения и деформации как в состоянии равновесия, так и в состоянии движения.
Реальные твердые тела под действием приложенных сил деформируются, то есть изменяют форму и размеры. Жесткость – способность материала сопротивляться упругим деформациям. В нагруженной конструкции неизбежно возникновение упругих деформаций и обусловленных ими перемещений отдельных точек конструкции, а расчет конструкции на жесткость должен обеспечить выбор таких ее размеров и характеристик, при которых упругие перемещения, вызванные рабочими нагрузками, будут лежать в допустимых пределах. По характеру воздействия и приложения к элементу конструкции внешние силы делят на объемные и поверхностные. Объемными силами являются силы тяжести конструкции и силы инерции, возникающие при ее ускоренном движении. Объемные силы действуют на каждый бесконечно малый элемент объема. Поверхностными силами являются нагрузки, передающиеся от одних элементов конструкции к другим. Поверхностные силы делятся на сосредоточенные и распределенные. Сосредоточенной считается сила, которая передается на деталь по площадке, размеры которой пренебрежимо малы в сравнении с размерами самой детали. Нагрузки, распределенные по поверхности, характеризуются давлением (отношением силы, действующей на элемент поверхности нормально к ней, к площади элемента) и выражаются в Па. Нагрузка, распределенная по длине элемента, характеризуется интенсивностью и выражается отношением силы, действующей на элемент, к его длине – Н / м. По характеру изменения во времени различают нагрузки статические, динамические, циклические. Статическими называются нагрузки, нарастающие медленно и плавно от нуля до конечного значения; достигнув его, далее не изменяются.
Возникающими при этом ускорениями можно пренебречь. Динамическими (ударными) называются нагрузки, изменяющиеся во времени с большой скоростью. Действие таких нагрузок приводит к колебаниям конструкции и возникновению сил инерции, пропорциональных колеблющимся массам и ускорениям. Эти силы инерции могут во много раз превосходить статические.
Нагрузки могут быть циклическими или повторными во времени, изменяясь по тому или иному закону. Различают повторные нагрузки с установившимся режимом (повторно периодические) и с неустановившимся режимом. Законы изменения нагрузок во времени могут иметь весьма сложный характер. Конструкции станков, их деталей и узлов, которые встречаются на практике, в большинстве случаев имеют сложную форму. Однако их отдельные элементы с той или иной степенью допустимой точности при расчетах можно свести к простейшим: брус, пластина, и т. п.
Перемещения точек тела, обусловленные его упругими деформациями, весьма малы по сравнению с размерами тела. Из этого допущения следует, что изменения в расположении сил, происходящие при деформации конструкции, не следует учитывать при составлении уравнений равновесия (при определении реакций связей), а также при определении внутренних сил. Это положение иногда называют принципом начальных размеров. Перемещения точек упругого тела в известных пределах нагружения прямо пропорциональны силам, вызывающим эти перемещения. Такие тела (системы) называют линейно деформируемыми, и они подчиняются закону Гука. Результат действия группы сил не зависит от последовательности нагружения ими конструкции и равен сумме результатов действия каждой из сил в отдельности. Это положение имеет название «принцип независимости действия сил» или принцип суперпозиции.
Как известно из положений теории упругости [6, 7] при растяжении бруса абсолютная упругая деформация прямо пропорциональна приложенной нагрузке:
, (1)
где k – коэффициент пропорциональности между силой и деформацией.
Зависимость (1) не учитывает размеры и материал деформируемого тела, то есть способность тела сопротивляться деформации. Чтобы учесть эту характеристику тела, перейдем от внешних сил к внутренним напряжениям: σ = F / A; и от абсолютной деформации – к относительной: ε = Δl / l и запишем:
, (2)
где Ε – коэффициент пропорциональности, который называют модулем продольной упругости материала (модуль упругости первого рода) – модуль Юнга. Эта физическая постоянная для каждого материала характеризует его жесткость. Чем больше это значение, тем жестче материал, тем лучше он сопротивляется упругим деформациям, тем меньше деформируется при данном напряжении и имеет ту же размерность, что и напряжение σ – МПа.
Зависимость (2) и называется законом Гука: продольные упругие деформации прямо пропорциональны нормальным напряжениям, а зависимость (1) – формула Гука, которая после преобразований может быть записана:
, (3)
где k – коэффициент жесткости; μ – коэффициент податливости; E – жесткость сечения при растяжении; A – площадь поперечного сечения.
Или в общем виде для различных видов нагрузок или изменений сечения запишем:
. (4)
Запишем общее уравнение растяжения-сжатия бруса (стержня) произвольного сечения, решение которого с граничными условия на граничных участках позволяет находить выражения для смещений:
, (5)
где q(x) – внешняя распределенная нагрузка; – продольное усилие в брусе; – граничные условия перемещений; – граничные условия для действующих сил. Например, при q(x) = 0, u(0) = 0, u(l) = Δl, F(x = l) =F получим, решая (5), аналогично выражению (3): . Следует отметить, что значение сил, действующих на деталь при растяжении-сжатии, находится из уравнения равенства всех сил в данном направлении, включая силы трения. Подробно вопросы учета сил трения рассмотрены в работе [8].
Аналогично приведем общее уравнение прогиба среднего сечения бруса, в плоскости YOX прямоугольной системы координат, общие выражения для угла поворота θ и прогиба y определяются:
, (6)
, (7)
, (8)
где M – изгибающий момент; I – момент инерции сечения бруса.
Так, для жестко закрепленной балки с одной стороны, когда угол поворота θ|x = 0 = 0 и прогиб y|x = 0 = 0 равны нулю, а на конце балки действует сила равная F. Учитывая, что из этого следует равенство нулю свободных членов Cθ = 0, Cy = 0, Dy = 0, из (7) и (8) получим:
;
, (9)
;
. (10)
В работе [9] получены зависимости на основании решения уравнений упругости и дано их приведение к инженерному виду (за счет введения коэффициентов и упрощений на основе экспериментов, что отражает конструктивные особенности станков) для расчетов изгиба и кручения балок коробчатого сечения с ребрами и без ребер жесткости. Указывается, что максимальная погрешность расчетных и экспериментальных данных не превышает 20% для различных случаев применения. На рис. 3 приведены современные конструкции колонн станков с разной структурой размещения ребер жесткости, а на рис. 4 показаны современные компоновки станков с оптимальной жесткостью упругой структуры.
На рис. 5 показан станок и эквивалентная схема для расчета и оптимизации параметров жесткости составных частей станка с использованием системы жестких балок (описана выше) и нагрузок, в том числе веса частей станка.
В настоящее время также часто используются численные методы (в основном метод конечных элементов), которые, в основном подтверждают результаты, полученные для приведенных к эквивалентным схемам балок различного сечения.
Общая жесткость станка и его эквивалентная силовая схема, как это следует из рис. 2, иллюстрируется на примере фрезерно-расточного станка (рис. 6) и зависит от ряда составляющих факторов и элементов, которые включают следующие элементы:
неподвижные и подвижные;
функциональные и присоединительные;
базовые и корпусные детали станка и их геометрическую конфигурацию, способы и виды их соединений;
материал элементов;
направляющие;
подшипники;
механические передаточные механизмы и т. п.,
которые образуют упругую систему станка, а упругая погрешность (смещение) определяется в центре приложения силы – точки центра инструмента (ТСР). Следовательно, задачей упругой системы станка является свойство обеспечения и сохранения во времени постоянного и минимально возможного изменения расстояния между инструментом (ТСР) и заданной точкой обрабатываемой детали, измеряемого по нормали к ее поверхности.
Тогда общая или суммарная жесткость будет определена, если элементы упругой структуры представить как пружины, которые соединены последовательно (11), или параллельно (12), или последовательно и параллельно (13), то суммарный коэффициент жесткости может быть записан в виде:
, (11)
, (12)
, (13)
где ki, ki + m – жесткость элемента; i – количество последовательно соединенных элементов, m – количество паралельно соединенных элементов.
Линейная зависимость между деформацией и усилием в линейно-упругом диапазоне материала имеет место только в бесстыковых компонентах, а не с внутренним или внешним трением. Характерные линейные графики зависимости в реальных узлах и машинах обычно имеют непропорциональное изменение деформации. Это постепенное изменение (увеличение) жесткости в первую очередь зависит от активных поверхностей [10, 13] в зонах контакта.
Из этого следует, что необходимая или требуемая общая жесткость станка может быть достигнута только в том случае, если все элементы в пределах потока усилий имеют жесткость, взаимосвязанную и взаимообусловленную соответствующими другими компонентами. Так, во многих работах авторы указывают, что общая жесткость станка зависит от нескольких факторов, включая конфигурацию и размещение элементов станка, материал, механические передаточные механизмы, направляющие и контроллер. Тогда информацию о коэффициентах жесткости станка в целом предлагается [14] рассматривать в декартовой системе координат и записать в виде:
, (14)
где – вектор размерностью 6 × 1 действующих сил и моментов вдоль осей X, Y, Z (в Н и Н/рад соответственно); – величины значений малых смещений вдоль и поворотов вокруг осей (в м и рад. C соответственно); – матрица жесткости [6 × 6].
В работе [14] также указывается, что традиционные определения значений жесткости получают для двух частных случаев смещений тела: либо чистого перемещения, либо чистого вращения. В первом случае значение жесткости представляет собой величину силы, обусловливающую единичное линейное перемещение, а во втором случае – это крутящий момент, вызванный единичным угловым перемещением. Однако в общем случае, в котором тело испытывает как силовые нагрузки, так и крутящие моменты, традиционное определение значения жесткости недостаточно корректно и не всегда применимо, поскольку евклидова норма вектора δ не имеет физического смысла из-за неоднородности его единиц измерения. Для оценки значения жесткости в общем случае, когда тело подвергается как угловым, так и поступательным перемещениям, предлагается значение коллинеарной жесткости (collinear stiffness value – CSV):
,
где при ; – смещения в направлении осей; при ; – косинусы углов, а минимальные из возможных значений будут равны соответственно: и . Тогда соотношения , предложено называть оценкой жесткости, а изменение оценки жесткости, определяемое как отношение максимальной и минимальной оценок жесткости , (чем меньше отклонение от номинальной жесткости, то есть чем ближе оно к единице, тем лучше характеристики жесткости машины) является более полной характеристикой качества жесткости станка.
Таким образом, и , и , если рассматривается только линейная составляющая упругой жесткости узлов и деталей как твердого тела, а общая жесткость станка оценивается на основании зависимостей (11–13). В реальных случаях, когда необходимо учитывать конструктивную податливость деталей машины, контактную жесткость и трение, мы имеем и .
Линейная зависимость между деформацией и усилием в линейно-упругом диапазоне материала имеет место только в бесстыковых компонентах и без внутреннего или внешнего трения. Характерные линейные графики зависимости в реальных узлах и машинах обычно имеют непропорциональное изменение деформации. Это постепенное изменение (увеличение) жесткости в первую очередь зависит от активных поверхностей в зонах контакта. Для оценок влияния свойств материалов деталей станков в табл. 2 приведены указанные характеристики, входящие в зависимости (2–10) по определению деформаций.
Конструкции, большинство из которых имеют гетерогенную структуру, под действием внешних нагрузок совершают колебания, энергия которых за счет наличия внутреннего или внешнего трения поглощается в материале конструкции и рассеивается в виде тепловой энергии во внешнюю среду.
Чем больше разнородных материалов входит в конструкцию, тем эффективнее рассеяние энергии при внезапных импульсных или непериодических нагрузках.
В работах [14, 15, 16] даны базовые понятия, определения, зависимости и решения основного уравнения динамики для различных исходных и граничных условий, методы оценки динамического качества конструкций станков, приводятся примеры анализа и оптимизации параметров при проектировании. Основное уравнение динамики записывается в виде:
или
, (15)
где m, c и k, соответственно, представляют эквивалентную массу, демпфирование и жесткость станка, приведенные к центру инструмента (ТСР); – собственная частота колебаний (при с = 0); – коэффициент демпфирования (для механических конструкций всегда ).
Динамические силовые нагрузки описываются во времени, как правило, периодической функцией, которая, в свою очередь, может быть представлена в виде ряда Фурье:
.
Основная задача анализа динамической системы станка – выявление прямых и обратных связей между упругой системой станка и рабочими процессами в подвижных соединениях [14]. В результате анализа выявляют параметры и смещения, которые влияют на протекание заданных рабочих процессов с требуемыми характеристиками. Решение уравнения (15) достаточно для получения АФЧХ и интегрального коэффициента демпфирования и амплитуд. Несмотря на сложность несущей системы станка, каждый резонанс определяет, как правило, какой-нибудь один элемент из многих. Замкнутая система станка, состоящая из устойчивых элементов, может оказаться в целом неустойчивой, и наоборот, может оказаться устойчивой при наличии некоторых неустойчивых элементов. Все указанные противоречия снимаются, если строить выводы на основании положений работы [14] о замкнутости динамической системы станка.
В качестве примера схематизации станка и представления его динамической системы в виде многих тел с упругими и диссипативными связями на рис. 7 приведена такая структура станка, которая включает в себя пять компонентов и 50 степеней свободы: степени свободы 1–10 представляют основание, степени свободы 11–20 представляют колонну, степени свободы 21–30 – шпиндельную бабку, 31–40 и 41–50 представляют собой подвижные рабочие органы соответственно в X и Y направлениях.
Как отмечалось ранее, на станок, кроме силовых факторов, воздействуют и тепловые, которые также приводят к температурным погрешностям и обусловливают изменение точности станка, а также нарушают стабильность требуемого относительного взаимного положения инструмента (ТСР) и обрабатываемой на станке детали. В работах [18, 19] рассмотрены методы построения и анализа тепловой, температурной и термоупругой систем станка.
Методы теплопроводности и термоупругости позволяют сформулировать и записать основные выражения теории термоупругости, которые, например, по аналогии (табл. 1) для стержневых систем, как упругой системы станка, можно записать в следующем виде:
, (16)
,
, (17)
где – оператор Лапласа; μ – коэффициент Пуассона; ε – относительное объемное расширение; β – коэффициент линейного расширения; G – модуль сдвига; E – модуль упругости; – нормальные напряжения; – функция распределения температурного поля.
Решение уравнений (16, 17) с граничными условиями на перемещения и на нагрев позволяет найти решение по определению смещений, обусловленных изменением температуры.
Для простейшего случая неравномерного нагрева балки прямоугольного сечения получим следующие соотношения, аналогичные тому, как это получено для упругого поведения бруса:
, (18)
при
при . (19)
Тогда решение уравнения (18) с граничными условиями (19) будет иметь вид:
. (20)
В случае, когда имеется неравномерное распределение температуры по высоте балки, возникают изгибающие напряжения, которые приводят к изгибу балки, вследствие момента:
,
а напряжение будет:
.
Тогда решая, получим величину изгиба нейтральной линии балки:
для свободно лежащей балки величина прогиба будет равна:
;
для защемленной на одном конце балки величина прогиба будет равна:
,
где L, 2c, 2b – соответственно длина, высота и ширина балки, – неравномерность температуры по высоте балки.
В табл. 3 приведены в исторической последовательности основные понятия о статической, динамической и тепловой жесткости станков.
Тогда, учитывая сказанное, можно сделать вывод, что «Инженерные методы оценки и/или определения параметров и характеристик жесткости станка – это экспериментально подтвержденное обоснование степени, точности и пределов применимости методов и способов приведения и/или идеализации реальных деталей, узлов и станка к моделям и видам, для которых разработаны, обоснованы и получены теоретические выражения и функциональные зависимости в границах сформулированных и принятых условий их существования и окружения для указанного диапазона рассматриваемых параметров».
Как видно из приведенных физических закономерностей, в настоящее время для расчета тепловой (температурной) жесткости станка не существует приближенных зависимостей, аналогичных расчету упругих деформаций. Как это видно из приведенных методов физических процессов (табл. 1), в отличие от упругих и динамических процессов (воздействие приложены в точке ТСР инструмента и являются вектором), температурные или тепловые воздействия в виде изменяющейся температуры не являются векторной величиной и изменяют термоупругое состояние и смещения элементов всей термоупругой системы. И следствием являются малые изменения положения ТСР (из-за деформаций всего станка и элементов), а не воздействие на него в понятной точке упругой системы. Для тепловых воздействий существуют попытки законом, аналогичным по структуре закону Гука, определить понятие «термической (тепловой или температурной) жесткости», как способности конструкции препятствовать термическим воздействиям и определять ее частным от деления потерь мощности на возникаюшую максимальную деформацию в выбранных координатах при определенном режиме работы станка. Количественное значение этого параметра может также определяется как отношение потерь мощности к максимальному изменению выходного параметра станка по соответствующим координатам за этот же промежуток времени. Также предлагается параметр свойства конструкции противодействовать термическим возмущениям: в количественном выражении для линейных величин это мкм/кВт, а для угловых – град/кВт по каждому выходному параметру станка, как отношение величины перемещения к моменту окончания очередного цикла термического воздействия к величине потребляемой энергии на это время.
Из этого следует очевидная и сущностная разница применения понятий жесткость и термическая жесткость, так как в первом случае четко фиксировано место приложения силы и место измерений, а во втором случае – фиксировано то же самое место измерения, а величина и место теплового воздействия являются неопределенной величиной. Очевидно, что такая «объективная» оценка не может служить основанием для оценки управления тепловым поведением станка.
Литература
Кузнецов А. П. Эволюция методов оценки точности металлорежущих станков и тенденции ее изменения. Часть 1. Эволюция понятия точность и ее физическая модель // Вестник машиностроения. 2016. № 12. С. 8–16.
Kuznetsov A. P., Koriath H.-J. Energy – information regularities of increasing productivity in metalworking machine tools. EPJ Web Conf. V. 224, 2019. IV International Conference “Modeling of Nonlinear Processes and Systems”, MNPS‑2019. PP. 1–8.
Putz M., Koriath H.-J., Kuznetsov A. P. Resource consumption classes of machine tools. Special Issue | HSM 2019 15th International Conference on High Speed Machining October 8–9, 2019, Prague, Czech Republic. MM Science Journal. PP. 3301–3309.
Van de Vijver W., Houben M., Van Brussel H., Reynaerts D. Piezomotors: an enabling technology. Publisher: Nederlandse Vereniging voor Precisietechnologie Mikroniek: 2009; V. 49; iss. 1. PP. 20–27.
Thermo-energetic Design of Machine Tools. Editor Knut Großmann. Springer International Publishing Switzerland. 2015. P. 262.
Тимошенко С. П., Гудьер Дж. Теория упругости. М.: Наука. Главная редакция физико-математической литературы, 1979. 560 с.
Хан X. Теория упругости: Основы линейной теории и ее применения. М.: Мир, 1988. 344 с.
Чернянский П. М. Основы проектирования точных станков. Теория и расчет. М: КНОРУС, 2010. 240 с.
Каминская В. В., Левина З. М., Решетов Д. Н. Станины и корпусные детали металлорежущих станков. Расчет и конструирование. М.: Государственное научно-техническое издательство машиностроительной литературы. 1960. 364 с.
Brecher Chk., Weck M. Machine tools – Design, calculation and metrological assessment.V2.Springer-Verlag GmbH Germany, part of Springer Nature 2021. 840 p.
Кузнецов А. П. О материалах в станкостроении // Станкоинструмент. 2019. № 1. С. 44–55.
Han Wang, Tianjian Li, Xizhi Sun, Diane Mynors, Tao Wu. Optimal Design Method for Static Precision of Heavy-Duty Vertical Machining Center Based on Gravity Deformation Error Modelling. Processes 2022, 10, 1930, doi.org/10.3390/pr10101930. PP. 1–20.
Левина З. М., Решетов Д. Н. Контактная жесткость машин. М.: Машиностроение, 1971. 264 с.
Portman V. T., Chapsky V. S., Shneor Y., Ayalon E. Machine stiffness rating: Characterization and evaluation in design stage. Procedia CIRP , v. 36, 2015, pp. 111–11.
Кудинов В. А. Динамика станков. М.: Машиностроение, 1967. 360 с.
Rivin E. I. Handbook on Stiffness & Damping in Mechanical Design, ASME Press, New York, NY, 2010. 734 p.
Altintas Y. Manufacturing automation: metal cutting mechanics, machine tool vibrations, and CNC design. Cambridge University Press, New York, 2012. 360 p.
Chunhui Li, Zhiqiang Song, Xianghua Huang, Hui Zhao, Xuchu Jiang, Xinyong Mao Analysis of Dynamic Characteristics for Machine Tools Based on Dynamic Stiffness Sensitivity. Processes 2021, 9, 2260, pp. 1–16.
doi.org/10.3390/pr9122260
Кузнецов А. П. Тепловые процессы в металлорежущих станках. М.: Техносфера, 2019. 488 с.
Кузнецов А. П. Тепловой режим металлорежущих станков. М.: МГТУ «Станкин», Янус – К, 2013. 480 с.
Kuznetsov A. P., Koriath H.-J. Thermal stiffness – a key accuracy indicator of the machine tools. MM Science Journal, 2021,| Special Issue on ICTIMT2021. PP. 4548–4555.
Автор
Кузнецов Александр Павлович – доктор технических наук, профессор кафедры станков МГТУ «Станкин»
Отзывы читателей
