eng
Выпуск #2/2024
А. И. Сандлер
Геометрия контакта и технологические аспекты затылования зубьев зуборезных червячных фрез. Часть 2. Определение параметров осевого профиля шлифовального круга при затыловании
Геометрия контакта и технологические аспекты затылования зубьев зуборезных червячных фрез. Часть 2. Определение параметров осевого профиля шлифовального круга при затыловании
Просмотры: 1027
DOI: 10.22184/2499-9407.2024.35.2.60.69
Рассмотрены технологические аспекты процесса шлифования боковых поверхностей зубьев зуборезной червячной фрезы, такие как профилирование шлифовального круга и обеспечение обработки полного профиля шлифуемой поверхности. Определены функциональные зависимости расчета осевых профилей рабочих поверхностей шлифовального круга для обработки каждой из боковых сторон зубьев в зависимости от настройки угла наклона оси шлифовального круга. Определены условия исключения недопрофилирования шлифуемой поверхности зубьев.
Рассмотрены технологические аспекты процесса шлифования боковых поверхностей зубьев зуборезной червячной фрезы, такие как профилирование шлифовального круга и обеспечение обработки полного профиля шлифуемой поверхности. Определены функциональные зависимости расчета осевых профилей рабочих поверхностей шлифовального круга для обработки каждой из боковых сторон зубьев в зависимости от настройки угла наклона оси шлифовального круга. Определены условия исключения недопрофилирования шлифуемой поверхности зубьев.
Теги: contact lines curvature curvature radii grinding wheel profiling involute helical surface radial relieving relieving machine tooth flanks of hobs боковые поверхности зубьев червячных фрез кривизна линии контакта профилирование шлифовального круга радиальное затылование радиусы кривизны шлифовально-затыловочный станок эвольвентная винтовая поверхность
Геометрия контакта и технологические аспекты затылования зубьев
зуборезных червячных фрез. Часть 2. Определение параметров осевого профиля шлифовального круга при затыловании
А. И. Сандлер
Рассмотрены технологические аспекты процесса шлифования боковых поверхностей зубьев зуборезной червячной фрезы, такие как профилирование шлифовального круга и обеспечение обработки полного профиля шлифуемой поверхности. Определены функциональные зависимости расчета осевых профилей рабочих поверхностей шлифовального круга для обработки каждой из боковых сторон зубьев в зависимости от настройки угла наклона оси шлифовального круга. Определены условия исключения недопрофилирования шлифуемой поверхности зубьев.
Введение
В первой части статьи была определена геометрия образования линий контакта между поверхностями шлифовального круга и шлифуемыми боковыми поверхностями зубьев зуборезных червячных фрез на основе рассмотрения каждой из точек осевого профиля затылуемой поверхности, как элемента эвольвентной винтовой поверхности. Нa основе этого исследования в настоящей части рассмотрим основные технологические аспекты процесса затылования боковых поверхностей. Один из основных параметров наладки шлифовально-затыловочного станка, обеспечивающий требуемую точность профиля осевого сечения затылуемой поверхности – осевой профиль шлифовального круга, который изменяется в зависимости от угла установки его оси. Также важным условием обеспечения качества обработки является шлифование полного профиля зуба на оговоренной стандартом протяженности затылованного участка, или исключение недопрофилирования. Связано это с тем, что контактная линия поверхностей круга и фрезы находится в стороне от межосевого перпендикуляра.
Расчет профиля шлифовального круга
вдоль линии контакта поверхностей
круга и фрезы
Обратимся к рис. 1, на котором показано формирование осевого сечения шлифовального круга вдоль линии контакта поверхности круга и боковой поверхности зуба фрезы, а именно: при параллельных осях шлифовального круга и фрезы и при установке угла βw1 наклона оси шлифовального круга таким образом, чтобы точка пересечения касательных к основным цилиндрам точек профиля боковой поверхности зуба на межосевом перпендикуляре совпала с осью шлифовального круга (см.: ч. 1, выражение (17)). Зная углы αwi = αbi = γbi профиля шлифовального круга в основных точках профиля шлифуемой поверхности (выражение (7) из ч. 1) на цилиндрах: головок зуба αwa, делительном αwm0 и ножек αwf можно определить радиусы Rf, Ra кривизны осевого профиля шлифовального круга.
В плоскости, касательной к основному цилиндру, в точке профиля фрезы на ее делительном цилиндре контактная точка профиля круга имеет угол профиля αwm (см.: ч. 1, выражение (3, 4, 7)). Эта точка профиля круга является местом стыка участков кривых радиусами Ra и Rf. Длину рабочих участков профиля круга определим в виде:
m0 /cos αwm.
Радиус Ra кривизны участка рабочей поверхности шлифовального круга, обрабатывающий головку зуба фрезы, определяем как:
Ra = (m0 / cos αwm) / sin (αwm − αwa), (1)
радиус Rf кривизны участка рабочей поверхности шлифовального круга, обрабатывающего ножку зуба фрезы, определяем как:
Rf = (m0 / cos αwm) / sin (αwf − αwm). (2)
Стрелки выпуклости δa и δf профиля круга на этих участках также различны. Их значения определяем по формулам:
δa = (m0 / cos αwm)2 / 2Ra = 0,5m0 sin (αwm − αwa) / cos αwm;
δf = (m0 / cos αwm)2 / 2Rf = 0,5m0 sin (αwf − αwm) / cos αwm. (3)
Таким образом, определенная выше линия контакта и указанные стрелки выпуклости профиля шлифовального круга (при βw = 0 и при βw = βw1) компенсируют отклонение осевого профиля эвольвентной затылованной поверхности относительно прямолинейного осевого профиля архимедовой затылованной поверхности, которую, строго говоря, мы и стремимся получить.
На участке, обрабатывающем ножку зуба фрезы, радиус Rf несколько меньше, чем радиус Ra кривизны участка, обрабатывающего головку зуба. Соответственно, соотношение стрелок выпуклости:
δf > δa. (4)
Если разность значений (δf − δa) укладывается в допуск на профиль зуба по стандарту ГОСТ 9324‑2015 (для фрез определенной номенклатуры), то правку осевого профиля круга можно производить по единому радиусу кривизны, предпочтительно по значению Ra. В этом случае профиль затылованной поверхности зуба (и режущей кромки) на ножке зуба фрезы, ближе к впадине, получится более полным (отклонение профиля зуба в +), и на нарезаемом фрезой зубчатом колесе головка зуба получится с небольшим фланком. Это в принципе допустимо стандартом и способствует улучшению характеристики зацепления колес по уровню шума.
Характеристика контакта шлифовального круга и затылуемых поверхностей зубьев при установке оси шлифовального круга на заданный угол
При произвольно заданном угле βw наклона оси шлифовального круга, характеристика контакта рабочей поверхности шлифовального круга и затылуемой поверхности зубьев фрезы изменяется. Длина линии контакта и ее конфигурации внутри себя неизменны, поскольку величины углов φi в точках контакта (рис. 2 см. ч. 1) зависят только от параметров затылуемой поверхности – радиусов основных цилиндров и радиусов цилиндров расположения этих точек. Однако при изменении угла βw линия контакта поворачивается относительно оси фрезы и смещается относительно оси шлифовального круга. В результате этого расстояние ai от оси фрезы до точки пересечения касательных к основным цилиндрам на межосевом перпендикуляре не совпадает с размером aw0. Это изменение положения линии контакта круга и затылуемой поверхности влияет на формирование осевого профиля шлифовального круга.
Обратимся к рис. 2, левый вид которого отражает проекцию зоны обработки на плоскость, перпендикулярную оси фрезы и проходящую через межосевой перпендикуляр. Правый вид рис. 2 показывает осевое сечение шлифовального круга. Линия 1 на рис. 2 – касательная к основному цилиндру точки контакта на делительном цилиндре при параллельных осях и aw0 равно длине межосевого перпендикуляра. Линия 2 – положение касательной к основному цилиндру точки контакта на делительном цилиндре при βw0 ≠ 0 и ai ≠ aw0.
Как следствие отмеченного выше, между касательной к основному цилиндру точки контакта на делительном цилиндре затылуемой поверхности и осевым сечением шлифовального круга, проходящим через эту же точку осевого профиля поверхности зуба с координатами Xm, Ym, образуется угол μβ.
По выражению (10) (см. ч 1) определяем величину ai, после чего для основных точек профиля (f, m, a) находим координаты соответствующих точек линии контакта:
углы ψi между касательными к основным цилиндрам и межосевым перпендикуляром из выражения:
sin ψi = rbi / ai; (5)
длины ti касательных к основным цилиндрам:
ti = rbi / tg ψi (6)
длины отрезков bi от точки пересечения касательных с межосевым перпендикуляром до соответствующей точки профиля шлифуемой поверхности:
bi = ti – rbi / tg φi; (7)
далее можно рассчитать координаты Xi, Yi точек линии контакта по формулам:
Xi = ai – bi cos ψi;
Y = bi sin ψi. (8)
Параметры Ra, δa, Rf, δf кривизны профиля шлифовального круга, определенные по формулам (1)–(3), в общем случае относим к нормальному сечению поверхности шлифовального круга в плоскости, касательной к основному цилиндру точки профиля на делительном цилиндре, при этом точка контакта на делительном цилиндре является точкой стыка двух участков профилирования шлифовального круга. Величину угла μb отклонения плоскости, в которой определены параметры кривизны шлифовального круга, от осевого сечения шлифовального круга определим из соотношения:
μβ = acos (Ym0 / rwm) − (90° − ψm), (9)
где rwm = (rwf − m0) – радиус шлифовального круга в точке контакта на делительном цилиндре шлифуемой поверхности зуба фрезы.
Для определения параметров кривизны осевого профиля шлифовального круга при произвольно заданном угле βw воспользуемся формулой Эйлера [1], которая описывает соотношение кривизны линий на поверхности: для каждого нормального сечения поверхности его кривизна 1 / R определяется как:
1 / R = (cos2 μ / R1) + (sin2 μ / R2), (10)
где R1 и R2 – главные радиусы кривизны, то есть наибольшее и наименьшее значения R; они получаются при главных нормальных сечениях; μ – угол в плоскости, касательной к поверхности шлифовального круга в точке контакта на делительном цилиндре фрезы, между плоскостями нормальных сечений с главным радиусом кривизны R1 и текущим радиусом кривизны R. В данном случае – это угол между осевым сечением шлифовального круга и сечением, касательным к основному цилиндру, где радиусы кривизны определены выражениями (1) и (2).
tg μ = tg μβ cos αbm / cos βw. (11)
В выражении (10), применительно к рассматриваемому вопросу: R – это найденные по формулам (1) и (2) радиусы Ra и Rf кривизны участков в определенном (9) нормальном сечении к поверхности шлифовального круга; R1 – это искомые радиусы кривизны осевого сечения круга, соответствующие участкам профилирования для головок и ножек зубьев; R2 – это радиус кривизны шлифовального круга в плоскости, перпендикулярной к осевому профилю шлифовального круга в точке контакта на делительном цилиндре фрезы.
Значение радиуса кривизны R2 поверхности круга в плоскости, перпендикулярной его осевому сечению определяем по формуле:
R2 = rwm / sin αwm. (12)
Величину угла αwm профиля шлифовального круга в его осевом сечении в точке контакта с делительным цилиндром фрезы определяем из соотношения:
tg αwm = tg αbm cos μ. (13)
Значения искомых радиусов Raβ и Rfβ кривизны (как R1) в осевом сечении шлифовального круга получаем из (10):
R1 = Ra, f R2 cos2 μ / (R2 – Ra, f sin2 μ) . (14)
В работе [2] установлено, что при затыловании фрез типоразмеров наиболее распространенного Исполнения 2 для той стороны зубьев этих фрез, где угол подъема производящей поверхности больше угла подъема затылованной поверхности (например, левая сторона зубьев фрез с правым направлением производящей поверхности), точность профиля этой стороны зубьев обеспечивается при шлифовании кругом с прямолинейным профилем, с многократным запасом для всех типоразмеров фрез, и линия контакта также практически прямая. Для противоположной стороны зубьев (правая сторона зуба правозаходной фрезы) – у фрез с модулями до 2,25 мм точность профиля боковых поверхностей зубьев также технологически обеспечивается по классу точности 4А без применения радиусной правки. С увеличением модуля, в зависимости от требуемого класса точности фрезы требуется радиусная правка профиля шлифовального круга в соответствии с приведенной выше методикой.
Установка угла наклона оси шлифовального круга на угол подъема производящей поверхности на делительном цилиндре
Такая установка оси шлифовального круга является наиболее распространенной в практике производства червячных фрез. При βw, равным углу γm0 подъема производящей поверхности фрезы на ее делительном цилиндре, где tg γm0 = p / rm0, расстояние awi по межосевому перпендикуляру от оси фрезы до точки пересечения касательных к основным цилиндрам для обеих боковых сторон зубьев определяется выражениями:
awR = rm0 (1 + k tg αxR / p);
awL = rm0 (1 − k tg αxL / p). (15)
При затыловании той стороны зубьев, где угол подъема затылованной поверхности больше угла подъема производящей поверхности (правая сторона зубьев правозаходной фрезы) величина awR для фрез ряда модулей превышает межосевое расстояние фрезы и шлифовального круга при диаметре последнего не более 120 мм (технические данные шлифовально-затыловочных станков для фрез диаметром до 160 мм). В частности, для однозаходных фрез с модулями до 11 мм. При этом линия контакта шлифуемой поверхности зубьев фрезы будет находиться дальше от межосевого перпендикуляра, чем при βw = 0 и при значении угла βw1 наклона оси круга (см. выше). И, таким образом, установка оси шлифовального круга на угол подъема производящей поверхности для указанного диапазона червячных фрез преимуществ не приносит, однако усугубляет необходимость и увеличивает требуемую глубину занижения дна впадины зубьев фрезы для полной шлифовки профиля зубьев [2].
Порядок расчета координат точек контактной линии и параметров кривизны шлифовального круга аналогичен приведенному выше.
Обратимся к рис. 3. В качестве примера графически отражены конструктивные параметры и схема затылования боковых поверхностей зубьев однозаходной фрезы для обработки зубчатых колес модулем m0 = 4 мм. Угол скрещивания βw между осями фрезы О1 и шлифовального круга Оw равен углу подъема производящей поверхности на делительном цилиндре. Радиусы основных цилиндров для каждой из боковых поверхностей зубьев фрезы в различных точках профиля весьма близки (rbR = 12,869–13,932 мм; rbL = 2,933–2,937 мм), поэтому проекции основных цилиндров и касательные к ним отражены, соответственно, одной линией и контактирующие поверхности круга и фрезы касаются практически по прямой. Боковые поверхности зубьев имеют противоположные направления (правое и левое).
Как отмечено выше, если направление затылуемой поверхности противоположно по знаку направлению производящей поверхности фрезы (у правозаходной фрезы левая затылуемая боковая поверхность зуба имеет левое направление), то касательные к основным цилиндрам обеих сторон зуба фрезы находятся с одной стороны от межосевого перпендикуляра. Однако, при затыловании левой стороны зубьев правой производящей поверхности величина awL из (15) является отрицательной, что показано на рисунке. Разность величин:
awR − awL = rm0 k (tg αxR + tg αxL) / p, (16)
больше каждой из них и является, по сути, суммой их абсолютных величин. Это говорит о том, что точка пересечения касательных к основным цилиндрам точек профиля левой боковой поверхности на межосевом перпендикуляре находится на расстоянии awL от оси фрезы с противоположной стороны относительно точки пересечения касательных к основным цилиндрам точек профиля правой боковой поверхности зуба на расстоянии awR.
Заметим также, что в этом случае касательные к основным цилиндрам обеих боковых сторон пересекаются вблизи цилиндра впадин зубьев фрезы, то есть эта точка зоны обработки является общей для обоих профилей зуба фрезы.
Величина awL становится положительной при p > k tg αxL0 (или при: 0,5 m0 Z / tg α0 ≥ Kz0 / 2π), что в конструктивных параметрах фрез по стандарту ГОСТ 9324‑2015 реализуется для фрез Исполнения 2:
при m0 > 11 мм для однозаходных фрез (Z = 1);
при m0 ≥ 3 для Z = 2;
при m0 ≥ 1,25 для Z = 3;
при m0 ≥ 1,0 для Z = 4.
Для фрез Исполнения 1:
при m0 = 2 и Z = 1, при m0 ≥ 1,375 мм и Z = 2;
при m0 ≥ 0,75 мм и Z = 3;
при m0 ≥ 0,5 мм и Z = 4.
И здесь необходимо отметить практический опыт производства червячных зуборезных фрез, а именно: прецизионные фрезы для окончательной зубообработки зубчатых колес всегда исполняют однозаходными. Двухзаходными изготавливают только фрезы для обработки зубчатых колес под последующее зубошлифование (с утоненным зубом на полную высоту профиля; припуск для зубошлифования обеспечивают уменьшением толщины зуба). Связано это с тем, что при зубообработке колес с числом зубьев, кратным числу заходов фрезы, погрешность профиля зубьев нарезаемого колеса в виде огранки возрастает пропорционально квадрату числа Z заходов фрезы [3, 4], что непосредственно увеличивает погрешность шага зацепления.
То есть чистовая обработка зубчатых колес многозаходными фрезами возможна только для чисел зубьев колеса, не имеющих общих множителей с числом заходов производящей поверхности фрезы. Но, по сравнению с обработкой однозаходной фрезой, для получения равноценного качества профиля зубьев нарезаемого колеса, продольная подача фрезы вдоль обрабатываемых зубьев должна быть уменьшена в Z (количество заходов) раз, а количество оборотов колеса для его полной зубообработки должно быть пропорционально увеличено.
Также из [2] мы знаем, что во всем диапазоне типоразмеров однозаходных фрез отклонения от прямолинейности профиля с этой (левой) стороны при обработке кругом с прямолинейным профилем практически соответствуют требованиям стандарта по точности профиля зуба фрезы высоких классов точности 4А, 3А, и не требуют радиусной правки профиля шлифовального круга. А линия контакта поверхностей круга и шлифуемой стороны зуба является практически прямой. Это свойство сохраняется для этой стороны зубьев и при установке оси шлифовального круга на некоторый угол βw. Изменяется в этом случае только угол αwm профиля шлифовального круга в соответствии с выражением (13).
Червячные фрезы с модулем до 1 мм в настоящее время существенно потеряли в спросе, поскольку на многих машиностроительных заводах освоен метод глубинного шлифования зубьев («по-целому») на станках с червячным абразивом.
Червячные зуборезные фрезы с большим числом заходов изготавливают в редких случаях, как специальные или для зубонарезания колес многозаходных червячных передач. Но в последнем случае решаются несколько иные задачи [3, 4].
Исключение недопрофилирования затылованных поверхностей
Недопрофилирование шлифуемой поверхности означает, что ее профиль не спрофилирован на полную высоту зуба (витка) из-за того, что шлифовальный круг недостаточно углублен во впадину. Как правило, это имеет место, если линия контакта находится в стороне от межосевого перпендикуляра осей круга и фрезы [2, 3, 4].
Линия контакта между поверхностью круга и шлифуемой поверхностью проходит по касательной к основному цилиндру радиуса rb, пересекая межосевой перпендикуляр. И для того чтобы полностью спрофилировать рабочий участок профиля шлифуемой поверхности, включая ножку зуба, на межосевом перпендикуляре круга и изделия требуется дополнительно заглубить круг во впадину между витками на высоту Δhw. Для этого по дну впадины выполняют занижение на величину Δhw, которую следует определять по формуле [2]:
Δhv = (rfK − (rfK2 − rb2)0,5) / (1 + rfr / rw ), (17)
где rw – максимальный радиус шлифовального круга; rfK – минимальный шлифуемый радиус затылуемой боковой поверхности зубьев, который следует определять в конце рабочего хода затылования; с учетом длины рабочего хода Ka = k φa он составит:
rfK = ra0 − 2,25 m0 − k φa, (18)
где φa – угол поворота фрезы за рабочий ход затылования.
Достаточно подробно определение величин длины рабочего хода Ka и угла φa изложено в [2] для случая затылования на параллельных осях. Для случая затылования со скрещивающимися осями шлифовального круга и фрезы величину φa можно определять по упрощенной формуле для всего диапазона типоразмеров:
φa ≈ (π / 3z0) + rbm 2,25 m0 / (ra0 (ra0 − 2,25 m0)) . (19)
Это значение φa гарантирует у ножки зуба протяженность шлифованной части не менее 1 / 3 ширины зуба – для обеспечения переточек по передней поверхности в процессе эксплуатации фрезы – и обеспечивает требование стандарта по протяженности шлифованной части зуба на головке зуба: 1 / 2 ширины зуба на головке для модулей до 4 мм включительно, не менее 1 / 3 ширины зуба для модулей более 4 мм.
Величина Δhw глубины занижения для каждой из сторон зубьев фрезы разная, так как зависит от радиуса rb основного цилиндра затылованной поверхности. Наибольшие из значений rb, Κα и rfК у правозаходных фрез имеют место для правой стороны зубьев. Обеспечивать указанное занижение можно либо токарной проточкой кольцевой канавки радиусом rΔ < rfК на всю ширину дна впадины (рис. 3), либо при предварительном затыловании резцом по дну впадины с выходом в углубление стружечной канавки зубьев.
Заключение
Разработана методика расчета профиля шлифовального круга для получения прямолинейного профиля затылованной поверхности, в том числе при несовпадении линии контакта с осевым сечением шлифовального круга.
Определено, что для той стороны зуба, где угол подъема затылованной поверхности больше угла подъема производящей поверхности, в общем случае требуется радиусная правка шлифовального круга. При этом профиль круга, как правило, состоит из двух дуг разных радиусов с точкой стыка в точке, соответствующей обработке на делительном цилиндре фрезы.
При затыловании однозаходных червячных фрез с модулем до 2,25 мм радиусная правка не требуется при обработке обеих боковых сторон зуба.
Для однозаходных фрез, при затыловании боковой стороны зуба с меньшим углом подъема, чем угол подъема производящей поверхности, радиусная правка профиля шлифовального круга не требуется во всем диапазоне модулей, предусмотренных стандартом.
Приведены условия исключения недопрофилирования затылованных поверхностей в связи с несовпадением линии контакта шлифующей поверхности круга и шлифуемой поверхности фрезы с межосевым перпендикуляром.
Литература
Бронштейн И. Н. и Семендяев К. А. Справочник по математике для инженеров и учащихся вутзов // СПб: Издательство «Лань», 2010. 608 с. ISBN 978‑5‑8114‑0906‑8
Сандлер А. И. Функционально-ориентированная технология затылования зубьев зуборезных червячных фрез нового стандарта // Наукоемкие технологии в машиностроении. 2022. № 1(127). С. 37–48. doi: 10.30987/2223‑4608‑2022‑1‑37‑48.
Сандлер А. И., Лагутин С. А., Верховский А. В. Производство червячных передач / Под общ. ред. С. А. Лагутина. М.: Машиностроение, 2008. 272 с.
Сандлер А. И., Лагутин С. А., Гудов Е. А. Теория и практика производства червячных передач общего вида / Под общ. ред. С. А. Лагутина. М.: Инфра-Инженерия, 2016. 346 с.
Автор
Сандлер Александр Исерович – кандидат технических наук, независимый эксперт
зуборезных червячных фрез. Часть 2. Определение параметров осевого профиля шлифовального круга при затыловании
А. И. Сандлер
Рассмотрены технологические аспекты процесса шлифования боковых поверхностей зубьев зуборезной червячной фрезы, такие как профилирование шлифовального круга и обеспечение обработки полного профиля шлифуемой поверхности. Определены функциональные зависимости расчета осевых профилей рабочих поверхностей шлифовального круга для обработки каждой из боковых сторон зубьев в зависимости от настройки угла наклона оси шлифовального круга. Определены условия исключения недопрофилирования шлифуемой поверхности зубьев.
Введение
В первой части статьи была определена геометрия образования линий контакта между поверхностями шлифовального круга и шлифуемыми боковыми поверхностями зубьев зуборезных червячных фрез на основе рассмотрения каждой из точек осевого профиля затылуемой поверхности, как элемента эвольвентной винтовой поверхности. Нa основе этого исследования в настоящей части рассмотрим основные технологические аспекты процесса затылования боковых поверхностей. Один из основных параметров наладки шлифовально-затыловочного станка, обеспечивающий требуемую точность профиля осевого сечения затылуемой поверхности – осевой профиль шлифовального круга, который изменяется в зависимости от угла установки его оси. Также важным условием обеспечения качества обработки является шлифование полного профиля зуба на оговоренной стандартом протяженности затылованного участка, или исключение недопрофилирования. Связано это с тем, что контактная линия поверхностей круга и фрезы находится в стороне от межосевого перпендикуляра.
Расчет профиля шлифовального круга
вдоль линии контакта поверхностей
круга и фрезы
Обратимся к рис. 1, на котором показано формирование осевого сечения шлифовального круга вдоль линии контакта поверхности круга и боковой поверхности зуба фрезы, а именно: при параллельных осях шлифовального круга и фрезы и при установке угла βw1 наклона оси шлифовального круга таким образом, чтобы точка пересечения касательных к основным цилиндрам точек профиля боковой поверхности зуба на межосевом перпендикуляре совпала с осью шлифовального круга (см.: ч. 1, выражение (17)). Зная углы αwi = αbi = γbi профиля шлифовального круга в основных точках профиля шлифуемой поверхности (выражение (7) из ч. 1) на цилиндрах: головок зуба αwa, делительном αwm0 и ножек αwf можно определить радиусы Rf, Ra кривизны осевого профиля шлифовального круга.
В плоскости, касательной к основному цилиндру, в точке профиля фрезы на ее делительном цилиндре контактная точка профиля круга имеет угол профиля αwm (см.: ч. 1, выражение (3, 4, 7)). Эта точка профиля круга является местом стыка участков кривых радиусами Ra и Rf. Длину рабочих участков профиля круга определим в виде:
m0 /cos αwm.
Радиус Ra кривизны участка рабочей поверхности шлифовального круга, обрабатывающий головку зуба фрезы, определяем как:
Ra = (m0 / cos αwm) / sin (αwm − αwa), (1)
радиус Rf кривизны участка рабочей поверхности шлифовального круга, обрабатывающего ножку зуба фрезы, определяем как:
Rf = (m0 / cos αwm) / sin (αwf − αwm). (2)
Стрелки выпуклости δa и δf профиля круга на этих участках также различны. Их значения определяем по формулам:
δa = (m0 / cos αwm)2 / 2Ra = 0,5m0 sin (αwm − αwa) / cos αwm;
δf = (m0 / cos αwm)2 / 2Rf = 0,5m0 sin (αwf − αwm) / cos αwm. (3)
Таким образом, определенная выше линия контакта и указанные стрелки выпуклости профиля шлифовального круга (при βw = 0 и при βw = βw1) компенсируют отклонение осевого профиля эвольвентной затылованной поверхности относительно прямолинейного осевого профиля архимедовой затылованной поверхности, которую, строго говоря, мы и стремимся получить.
На участке, обрабатывающем ножку зуба фрезы, радиус Rf несколько меньше, чем радиус Ra кривизны участка, обрабатывающего головку зуба. Соответственно, соотношение стрелок выпуклости:
δf > δa. (4)
Если разность значений (δf − δa) укладывается в допуск на профиль зуба по стандарту ГОСТ 9324‑2015 (для фрез определенной номенклатуры), то правку осевого профиля круга можно производить по единому радиусу кривизны, предпочтительно по значению Ra. В этом случае профиль затылованной поверхности зуба (и режущей кромки) на ножке зуба фрезы, ближе к впадине, получится более полным (отклонение профиля зуба в +), и на нарезаемом фрезой зубчатом колесе головка зуба получится с небольшим фланком. Это в принципе допустимо стандартом и способствует улучшению характеристики зацепления колес по уровню шума.
Характеристика контакта шлифовального круга и затылуемых поверхностей зубьев при установке оси шлифовального круга на заданный угол
При произвольно заданном угле βw наклона оси шлифовального круга, характеристика контакта рабочей поверхности шлифовального круга и затылуемой поверхности зубьев фрезы изменяется. Длина линии контакта и ее конфигурации внутри себя неизменны, поскольку величины углов φi в точках контакта (рис. 2 см. ч. 1) зависят только от параметров затылуемой поверхности – радиусов основных цилиндров и радиусов цилиндров расположения этих точек. Однако при изменении угла βw линия контакта поворачивается относительно оси фрезы и смещается относительно оси шлифовального круга. В результате этого расстояние ai от оси фрезы до точки пересечения касательных к основным цилиндрам на межосевом перпендикуляре не совпадает с размером aw0. Это изменение положения линии контакта круга и затылуемой поверхности влияет на формирование осевого профиля шлифовального круга.
Обратимся к рис. 2, левый вид которого отражает проекцию зоны обработки на плоскость, перпендикулярную оси фрезы и проходящую через межосевой перпендикуляр. Правый вид рис. 2 показывает осевое сечение шлифовального круга. Линия 1 на рис. 2 – касательная к основному цилиндру точки контакта на делительном цилиндре при параллельных осях и aw0 равно длине межосевого перпендикуляра. Линия 2 – положение касательной к основному цилиндру точки контакта на делительном цилиндре при βw0 ≠ 0 и ai ≠ aw0.
Как следствие отмеченного выше, между касательной к основному цилиндру точки контакта на делительном цилиндре затылуемой поверхности и осевым сечением шлифовального круга, проходящим через эту же точку осевого профиля поверхности зуба с координатами Xm, Ym, образуется угол μβ.
По выражению (10) (см. ч 1) определяем величину ai, после чего для основных точек профиля (f, m, a) находим координаты соответствующих точек линии контакта:
углы ψi между касательными к основным цилиндрам и межосевым перпендикуляром из выражения:
sin ψi = rbi / ai; (5)
длины ti касательных к основным цилиндрам:
ti = rbi / tg ψi (6)
длины отрезков bi от точки пересечения касательных с межосевым перпендикуляром до соответствующей точки профиля шлифуемой поверхности:
bi = ti – rbi / tg φi; (7)
далее можно рассчитать координаты Xi, Yi точек линии контакта по формулам:
Xi = ai – bi cos ψi;
Y = bi sin ψi. (8)
Параметры Ra, δa, Rf, δf кривизны профиля шлифовального круга, определенные по формулам (1)–(3), в общем случае относим к нормальному сечению поверхности шлифовального круга в плоскости, касательной к основному цилиндру точки профиля на делительном цилиндре, при этом точка контакта на делительном цилиндре является точкой стыка двух участков профилирования шлифовального круга. Величину угла μb отклонения плоскости, в которой определены параметры кривизны шлифовального круга, от осевого сечения шлифовального круга определим из соотношения:
μβ = acos (Ym0 / rwm) − (90° − ψm), (9)
где rwm = (rwf − m0) – радиус шлифовального круга в точке контакта на делительном цилиндре шлифуемой поверхности зуба фрезы.
Для определения параметров кривизны осевого профиля шлифовального круга при произвольно заданном угле βw воспользуемся формулой Эйлера [1], которая описывает соотношение кривизны линий на поверхности: для каждого нормального сечения поверхности его кривизна 1 / R определяется как:
1 / R = (cos2 μ / R1) + (sin2 μ / R2), (10)
где R1 и R2 – главные радиусы кривизны, то есть наибольшее и наименьшее значения R; они получаются при главных нормальных сечениях; μ – угол в плоскости, касательной к поверхности шлифовального круга в точке контакта на делительном цилиндре фрезы, между плоскостями нормальных сечений с главным радиусом кривизны R1 и текущим радиусом кривизны R. В данном случае – это угол между осевым сечением шлифовального круга и сечением, касательным к основному цилиндру, где радиусы кривизны определены выражениями (1) и (2).
tg μ = tg μβ cos αbm / cos βw. (11)
В выражении (10), применительно к рассматриваемому вопросу: R – это найденные по формулам (1) и (2) радиусы Ra и Rf кривизны участков в определенном (9) нормальном сечении к поверхности шлифовального круга; R1 – это искомые радиусы кривизны осевого сечения круга, соответствующие участкам профилирования для головок и ножек зубьев; R2 – это радиус кривизны шлифовального круга в плоскости, перпендикулярной к осевому профилю шлифовального круга в точке контакта на делительном цилиндре фрезы.
Значение радиуса кривизны R2 поверхности круга в плоскости, перпендикулярной его осевому сечению определяем по формуле:
R2 = rwm / sin αwm. (12)
Величину угла αwm профиля шлифовального круга в его осевом сечении в точке контакта с делительным цилиндром фрезы определяем из соотношения:
tg αwm = tg αbm cos μ. (13)
Значения искомых радиусов Raβ и Rfβ кривизны (как R1) в осевом сечении шлифовального круга получаем из (10):
R1 = Ra, f R2 cos2 μ / (R2 – Ra, f sin2 μ) . (14)
В работе [2] установлено, что при затыловании фрез типоразмеров наиболее распространенного Исполнения 2 для той стороны зубьев этих фрез, где угол подъема производящей поверхности больше угла подъема затылованной поверхности (например, левая сторона зубьев фрез с правым направлением производящей поверхности), точность профиля этой стороны зубьев обеспечивается при шлифовании кругом с прямолинейным профилем, с многократным запасом для всех типоразмеров фрез, и линия контакта также практически прямая. Для противоположной стороны зубьев (правая сторона зуба правозаходной фрезы) – у фрез с модулями до 2,25 мм точность профиля боковых поверхностей зубьев также технологически обеспечивается по классу точности 4А без применения радиусной правки. С увеличением модуля, в зависимости от требуемого класса точности фрезы требуется радиусная правка профиля шлифовального круга в соответствии с приведенной выше методикой.
Установка угла наклона оси шлифовального круга на угол подъема производящей поверхности на делительном цилиндре
Такая установка оси шлифовального круга является наиболее распространенной в практике производства червячных фрез. При βw, равным углу γm0 подъема производящей поверхности фрезы на ее делительном цилиндре, где tg γm0 = p / rm0, расстояние awi по межосевому перпендикуляру от оси фрезы до точки пересечения касательных к основным цилиндрам для обеих боковых сторон зубьев определяется выражениями:
awR = rm0 (1 + k tg αxR / p);
awL = rm0 (1 − k tg αxL / p). (15)
При затыловании той стороны зубьев, где угол подъема затылованной поверхности больше угла подъема производящей поверхности (правая сторона зубьев правозаходной фрезы) величина awR для фрез ряда модулей превышает межосевое расстояние фрезы и шлифовального круга при диаметре последнего не более 120 мм (технические данные шлифовально-затыловочных станков для фрез диаметром до 160 мм). В частности, для однозаходных фрез с модулями до 11 мм. При этом линия контакта шлифуемой поверхности зубьев фрезы будет находиться дальше от межосевого перпендикуляра, чем при βw = 0 и при значении угла βw1 наклона оси круга (см. выше). И, таким образом, установка оси шлифовального круга на угол подъема производящей поверхности для указанного диапазона червячных фрез преимуществ не приносит, однако усугубляет необходимость и увеличивает требуемую глубину занижения дна впадины зубьев фрезы для полной шлифовки профиля зубьев [2].
Порядок расчета координат точек контактной линии и параметров кривизны шлифовального круга аналогичен приведенному выше.
Обратимся к рис. 3. В качестве примера графически отражены конструктивные параметры и схема затылования боковых поверхностей зубьев однозаходной фрезы для обработки зубчатых колес модулем m0 = 4 мм. Угол скрещивания βw между осями фрезы О1 и шлифовального круга Оw равен углу подъема производящей поверхности на делительном цилиндре. Радиусы основных цилиндров для каждой из боковых поверхностей зубьев фрезы в различных точках профиля весьма близки (rbR = 12,869–13,932 мм; rbL = 2,933–2,937 мм), поэтому проекции основных цилиндров и касательные к ним отражены, соответственно, одной линией и контактирующие поверхности круга и фрезы касаются практически по прямой. Боковые поверхности зубьев имеют противоположные направления (правое и левое).
Как отмечено выше, если направление затылуемой поверхности противоположно по знаку направлению производящей поверхности фрезы (у правозаходной фрезы левая затылуемая боковая поверхность зуба имеет левое направление), то касательные к основным цилиндрам обеих сторон зуба фрезы находятся с одной стороны от межосевого перпендикуляра. Однако, при затыловании левой стороны зубьев правой производящей поверхности величина awL из (15) является отрицательной, что показано на рисунке. Разность величин:
awR − awL = rm0 k (tg αxR + tg αxL) / p, (16)
больше каждой из них и является, по сути, суммой их абсолютных величин. Это говорит о том, что точка пересечения касательных к основным цилиндрам точек профиля левой боковой поверхности на межосевом перпендикуляре находится на расстоянии awL от оси фрезы с противоположной стороны относительно точки пересечения касательных к основным цилиндрам точек профиля правой боковой поверхности зуба на расстоянии awR.
Заметим также, что в этом случае касательные к основным цилиндрам обеих боковых сторон пересекаются вблизи цилиндра впадин зубьев фрезы, то есть эта точка зоны обработки является общей для обоих профилей зуба фрезы.
Величина awL становится положительной при p > k tg αxL0 (или при: 0,5 m0 Z / tg α0 ≥ Kz0 / 2π), что в конструктивных параметрах фрез по стандарту ГОСТ 9324‑2015 реализуется для фрез Исполнения 2:
при m0 > 11 мм для однозаходных фрез (Z = 1);
при m0 ≥ 3 для Z = 2;
при m0 ≥ 1,25 для Z = 3;
при m0 ≥ 1,0 для Z = 4.
Для фрез Исполнения 1:
при m0 = 2 и Z = 1, при m0 ≥ 1,375 мм и Z = 2;
при m0 ≥ 0,75 мм и Z = 3;
при m0 ≥ 0,5 мм и Z = 4.
И здесь необходимо отметить практический опыт производства червячных зуборезных фрез, а именно: прецизионные фрезы для окончательной зубообработки зубчатых колес всегда исполняют однозаходными. Двухзаходными изготавливают только фрезы для обработки зубчатых колес под последующее зубошлифование (с утоненным зубом на полную высоту профиля; припуск для зубошлифования обеспечивают уменьшением толщины зуба). Связано это с тем, что при зубообработке колес с числом зубьев, кратным числу заходов фрезы, погрешность профиля зубьев нарезаемого колеса в виде огранки возрастает пропорционально квадрату числа Z заходов фрезы [3, 4], что непосредственно увеличивает погрешность шага зацепления.
То есть чистовая обработка зубчатых колес многозаходными фрезами возможна только для чисел зубьев колеса, не имеющих общих множителей с числом заходов производящей поверхности фрезы. Но, по сравнению с обработкой однозаходной фрезой, для получения равноценного качества профиля зубьев нарезаемого колеса, продольная подача фрезы вдоль обрабатываемых зубьев должна быть уменьшена в Z (количество заходов) раз, а количество оборотов колеса для его полной зубообработки должно быть пропорционально увеличено.
Также из [2] мы знаем, что во всем диапазоне типоразмеров однозаходных фрез отклонения от прямолинейности профиля с этой (левой) стороны при обработке кругом с прямолинейным профилем практически соответствуют требованиям стандарта по точности профиля зуба фрезы высоких классов точности 4А, 3А, и не требуют радиусной правки профиля шлифовального круга. А линия контакта поверхностей круга и шлифуемой стороны зуба является практически прямой. Это свойство сохраняется для этой стороны зубьев и при установке оси шлифовального круга на некоторый угол βw. Изменяется в этом случае только угол αwm профиля шлифовального круга в соответствии с выражением (13).
Червячные фрезы с модулем до 1 мм в настоящее время существенно потеряли в спросе, поскольку на многих машиностроительных заводах освоен метод глубинного шлифования зубьев («по-целому») на станках с червячным абразивом.
Червячные зуборезные фрезы с большим числом заходов изготавливают в редких случаях, как специальные или для зубонарезания колес многозаходных червячных передач. Но в последнем случае решаются несколько иные задачи [3, 4].
Исключение недопрофилирования затылованных поверхностей
Недопрофилирование шлифуемой поверхности означает, что ее профиль не спрофилирован на полную высоту зуба (витка) из-за того, что шлифовальный круг недостаточно углублен во впадину. Как правило, это имеет место, если линия контакта находится в стороне от межосевого перпендикуляра осей круга и фрезы [2, 3, 4].
Линия контакта между поверхностью круга и шлифуемой поверхностью проходит по касательной к основному цилиндру радиуса rb, пересекая межосевой перпендикуляр. И для того чтобы полностью спрофилировать рабочий участок профиля шлифуемой поверхности, включая ножку зуба, на межосевом перпендикуляре круга и изделия требуется дополнительно заглубить круг во впадину между витками на высоту Δhw. Для этого по дну впадины выполняют занижение на величину Δhw, которую следует определять по формуле [2]:
Δhv = (rfK − (rfK2 − rb2)0,5) / (1 + rfr / rw ), (17)
где rw – максимальный радиус шлифовального круга; rfK – минимальный шлифуемый радиус затылуемой боковой поверхности зубьев, который следует определять в конце рабочего хода затылования; с учетом длины рабочего хода Ka = k φa он составит:
rfK = ra0 − 2,25 m0 − k φa, (18)
где φa – угол поворота фрезы за рабочий ход затылования.
Достаточно подробно определение величин длины рабочего хода Ka и угла φa изложено в [2] для случая затылования на параллельных осях. Для случая затылования со скрещивающимися осями шлифовального круга и фрезы величину φa можно определять по упрощенной формуле для всего диапазона типоразмеров:
φa ≈ (π / 3z0) + rbm 2,25 m0 / (ra0 (ra0 − 2,25 m0)) . (19)
Это значение φa гарантирует у ножки зуба протяженность шлифованной части не менее 1 / 3 ширины зуба – для обеспечения переточек по передней поверхности в процессе эксплуатации фрезы – и обеспечивает требование стандарта по протяженности шлифованной части зуба на головке зуба: 1 / 2 ширины зуба на головке для модулей до 4 мм включительно, не менее 1 / 3 ширины зуба для модулей более 4 мм.
Величина Δhw глубины занижения для каждой из сторон зубьев фрезы разная, так как зависит от радиуса rb основного цилиндра затылованной поверхности. Наибольшие из значений rb, Κα и rfК у правозаходных фрез имеют место для правой стороны зубьев. Обеспечивать указанное занижение можно либо токарной проточкой кольцевой канавки радиусом rΔ < rfК на всю ширину дна впадины (рис. 3), либо при предварительном затыловании резцом по дну впадины с выходом в углубление стружечной канавки зубьев.
Заключение
Разработана методика расчета профиля шлифовального круга для получения прямолинейного профиля затылованной поверхности, в том числе при несовпадении линии контакта с осевым сечением шлифовального круга.
Определено, что для той стороны зуба, где угол подъема затылованной поверхности больше угла подъема производящей поверхности, в общем случае требуется радиусная правка шлифовального круга. При этом профиль круга, как правило, состоит из двух дуг разных радиусов с точкой стыка в точке, соответствующей обработке на делительном цилиндре фрезы.
При затыловании однозаходных червячных фрез с модулем до 2,25 мм радиусная правка не требуется при обработке обеих боковых сторон зуба.
Для однозаходных фрез, при затыловании боковой стороны зуба с меньшим углом подъема, чем угол подъема производящей поверхности, радиусная правка профиля шлифовального круга не требуется во всем диапазоне модулей, предусмотренных стандартом.
Приведены условия исключения недопрофилирования затылованных поверхностей в связи с несовпадением линии контакта шлифующей поверхности круга и шлифуемой поверхности фрезы с межосевым перпендикуляром.
Литература
Бронштейн И. Н. и Семендяев К. А. Справочник по математике для инженеров и учащихся вутзов // СПб: Издательство «Лань», 2010. 608 с. ISBN 978‑5‑8114‑0906‑8
Сандлер А. И. Функционально-ориентированная технология затылования зубьев зуборезных червячных фрез нового стандарта // Наукоемкие технологии в машиностроении. 2022. № 1(127). С. 37–48. doi: 10.30987/2223‑4608‑2022‑1‑37‑48.
Сандлер А. И., Лагутин С. А., Верховский А. В. Производство червячных передач / Под общ. ред. С. А. Лагутина. М.: Машиностроение, 2008. 272 с.
Сандлер А. И., Лагутин С. А., Гудов Е. А. Теория и практика производства червячных передач общего вида / Под общ. ред. С. А. Лагутина. М.: Инфра-Инженерия, 2016. 346 с.
Автор
Сандлер Александр Исерович – кандидат технических наук, независимый эксперт
Отзывы читателей
