eng
Выпуск #3/2025
В. А. Глазунов, С. А. Скворцов, Н. Л. Ковалева, К. В. Климов, Л. В. Гаврилина
Решение задачи о скоростях и положениях для модифицированного механизма ротопода с четырьмя кинематическими цепями
Решение задачи о скоростях и положениях для модифицированного механизма ротопода с четырьмя кинематическими цепями
Просмотры: 884
DOI: 10.22184/2499-9407.2025.40.3.68.71
Представлен алгоритм итерационного решения задач о бесконечно малых перемещениях и соответственно о скоростях модифицированного механизма ротопода с четырьмя кинематическими цепями, выходное звено которого имеет шесть степеней свободы. Рассмотренный пространственный механизм может найти применение для аддитивных технологий и робототехнических комплексов по обработке деталей сложной формы, в измерительных метрологических системах.
Представлен алгоритм итерационного решения задач о бесконечно малых перемещениях и соответственно о скоростях модифицированного механизма ротопода с четырьмя кинематическими цепями, выходное звено которого имеет шесть степеней свободы. Рассмотренный пространственный механизм может найти применение для аддитивных технологий и робототехнических комплексов по обработке деталей сложной формы, в измерительных метрологических системах.
Теги: base degree of freedom kinematic chain output link parallel structure mechanism position problem velocity problem выходное звено задача о положениях задача о скоростях кинематическая цепь механизм параллельной структуры основание степень свободы
Решение задачи о скоростях и положениях для модифицированного механизма ротопода с четырьмя кинематическими цепями
В. А. Глазунов, С. А. Скворцов, Н. Л. Ковалева, К. В. Климов, Л. В. Гаврилина
Представлен алгоритм итерационного решения задач о бесконечно малых перемещениях и соответственно о скоростях модифицированного механизма ротопода с четырьмя кинематическими цепями, выходное звено которого имеет шесть степеней свободы. Рассмотренный пространственный механизм может найти применение для аддитивных технологий и робототехнических комплексов по обработке деталей сложной формы, в измерительных метрологических системах.
Пространственные механизмы параллельной структуры с круговой направляющей и различным числом кинематических цепей представляют собой модифицированные механические системы, состоящие из кинематических цепей, выходного звена и круговой направляющей. Такие модифицированные механические системы имеют повышенные функциональные характеристики, обусловленные возможностью полного кругового вращения.
В данной работе исследуется механизм ротопода с четырьмя кинематическими цепями, выходное звено которого обладает шестью степенями свободы (рис. 1).
Представленный пространственный механизм имеет основание 1 в виде круглой направляющей для кругового движения, выходное звено 2, четыре кинематические цепи с входным звеном 3 в виде каретки, начальную вращательную кинематическую пару 4 и начальную сферическую кинематическую пару с пальцем 4', сферические пары 5, промежуточные поступательные кинематические пары 6, промежуточное звено 7. В настоящей работе продолжим кинематические исследования данного механизма, представленного в статьях [8, 11], и рассмотрим решение задачи о скоростях и решение прямой задачи о положениях.
Введем следующие обозначения: точки А1, А2, А3, А4 обозначают сферические пары выходного звена; точки В1, В2, В3, В4 обозначают положение кареток основания; L – длина промежуточного звена двух штанг; Lmax и Lmin – предельные длины промежуточного звена двух других штанг; R – радиус окружности основания перемещения кареток; r – радиус окружности платформы (выходного звена).
Для исследуемого механизма координаты точек Ai выходного звена имеют значения:
P = .
Переведем координаты точек выходного звена из подвижной в неподвижную систему координат основания. Представим переход как последовательность трех вращательных движений – вначале поворот вокруг оси ОХ на угол α, затем на угол β вокруг оси OY и на угол γ вокруг оси OZ, и трех поступательных – последовательное смещение на x1, у1, z1 вдоль соответственно осей OX, OY, OZ.
Матрица, описывающая переход из подвижной системы к системе координат основания имеет следующий вид:
M = .
Запишем матричное произведение M × P, получим координаты точек выходного звена в неподвижной системе координат XYZ основания.
Для решения задачи о скоростях запишем уравнения связей, которые имеют вид неявных функций, описывающих положения штанг ротопода (рис. 1).
Уравнение связи в неявном виде для первых двух штанг А1В1 и А2В2 с постоянной длиной имеет вид:
F1 = [(A1x – R · cos(q1))2 + (A1y – R · sin(q1))2 + (A1z)2 – L2] = 0,
F2 = [(A2x – R · cos(q2))2 + (A2y – R · sin(q2))2 + (A2z)2 – L2] = 0. (1)
Запишем уравнение связи в неявном виде для двух других штанг А3В3 и А4В4 c переменной длиной:
F3 = [(A3x – R · cos(q3))2 + (A3y – R · sin(q3))2 + (A3z)2 – q52] = 0,
F4 = [(A4x – R · cos(q4))2 + (A4y – R · sin(q4))2 + (A4z)2 – q62] = 0, (2)
где i = 1, 2, 3, 4; Aix – координата точки Ai по оси Х; Aiy – координата точки Ai по оси Y; Aiz – координата точки Ai по оси Z; qi – обобщенная координата – угол радиус-вектора точки Ai по отношению положительного направления оси OX (занимаемой кареткой).
Задача о скоростях решается методом Д. Анджелеса и К. Госслена, который основан на дифференцировании уравнений связей (1) и (2).
dα + dβ + ... + dq1 = 0,
dα + dβ + ... + dq2 = 0,
dα + dβ + ... + dq3 = 0,
dα + dβ + ... + dq4 = 0,
dα + dβ + ... + dq5 = 0,
dα + dβ + ... + dq6 = 0.
Соотношения для полных дифференциалов представим в матричной форме:
A × V = (–B) × ω,
где А – матрица частных производных от неявной функции Fi по x, y, z, α, β, γ:
A = ,
В – матрица частных производных от неявной Fi функции по обобщенным координатам qi:
B = ,
V – вектор абсолютных скоростей центра выходного звена:
M = ;
ω – вектор обобщенных скоростей во вращательных шарнирах:
ω = .
Матрицы А и В отображают свойства механизма и взаимное расположение кинематических цепей. Как известно, вырожденность матрицы В свидетельствует об особом положении первого типа, когда механизм теряет одну или несколько степеней свободы, а при вырожденности матрицы А механизм приобретает неуправляемую подвижность, что соответствует вырожденности второго типа. Возможен случай третьего типа, когда обе матрицы вырождены.
Далее определим частные производные от неявной функции по абсолютным и обобщенным координатам для каждой кинематической цепи представленного механизма (рис. 1).
Для первой кинематической цепи имеем:
∂F1 / ∂α = F11; ∂F1 / ∂β = F12; ∂F1 / ∂γ = F13;
∂F1 / ∂x = F14; ∂F1 / ∂y = F15; ∂F1 / ∂z = F16; ∂F1 / ∂q1 = F17.
Соответственно для второй кинематической цепи будет:
∂F2 / ∂α = F21; ∂F2 / ∂β = F22 и т. д.
Для третьей кинематической цепи имеем:
∂F3 / ∂α = F31; ∂F3 / ∂β = F32; ∂F3 / ∂γ = F33;
∂F3 / ∂x = F34; ∂F3 / ∂y = F35; ∂F3 / ∂z = F36;
∂F3 / ∂q3 = F37; ∂F3 / ∂q5 = F38.
Соответственно для четвертой кинематической цепи будет:
∂F4 / ∂α = F41; ∂F4 / ∂β = F42; и т. д.
Для заданных параметров механизма, задавая координаты положения центра выходного звена относительно неподвижной системы координат: x; y; z; α; β; γ из уравнений (1) и (2) получим значения обобщенных координат qi.
Используя значения матриц А и В, получаем выражения для скоростей:
A × = –B × .
Таким образом решается задача о скоростях. Далее рассмотрим решение прямой задачи о положениях.
Применим полученные выражения для решения прямой задачи о положениях. Можно взять некоторое начальное положение, для которого известны как обобщенные, так и абсолютные координаты, и, давая малые приращения обобщенным координатам, находим приращения абсолютных координат:
A × = –B × .
Далее определяем значения абсолютных координат:
x1 = x + Δx; y1 = y + Δy; z1 = z + Δz;
α1 = α + Δα; β1 = β + Δβ; γ1 = γ + Δγ.
Таким образом, решается прямая задача о положениях.
Вывод
Получен алгоритм итерационного решения задач о бесконечно малых перемещениях и соответственно о скоростях модифицированного механизма ротопода с четырьмя кинематическими цепями, выходное звено которого имеет шесть степеней свободы.
Рассмотренный алгоритм итерационного решения задач о бесконечно малых перемещениях и соответственно о скоростях также может служить основой последующего кинематического анализа механизма.
Рассмотренный пространственный механизм может найти применение для аддитивных технологий и робототехнических комплексов по обработке деталей сложной формы, в измерительных метрологических системах (проверки точности деталей и т. д.).
Литература
Gough V. Е. Contribution to discussion of papers on research in automobile stability, control and in type performance // Proceedings of Mechanical Engineers: Auto Division. 1956. PP. 392–395.
Kong X., Gosselin C. Type synthesis of parallel mechanisms. Springer, 2007. 272 p.
Merlet J. P. Parallel robots. Kluwer Academic Publishers, 2006. 372 p.
Stewart D. A platform with 6 degrees of freedom // Proceedings of the Institution of Mechanical Engineers. 1965. PP. 371–386.
Глазунов В. А., Колискор А. Ш., Крайнев А. Ф. Пространственные механизмы параллельной структуры. М.: Наука? 1991. 95 с.
Глазунов В. А. Структура пространственных механизмов. Группы винтов и структурные группы // Справочник. Инженерный журнал. С приложением. 2010. 24 с.
Schmitt D. J., Benavides G. L., Bieg L. F., Kozlowski D. M. Analysis of the Rotopod: an all revolute parallel manipulator // Proceedings of the IEEE International Conference on Robotics and Automation. Leuven, Belgium. May 16–21 1998 года.
Скворцов С. А. Кинематический анализ пространственных механизмов параллельной структуры с круговой направляющей и четырьмя кинематическими цепями // Справочник. Инженерный журнал. 2016. № 5. С. 16–21.
Антонов А. В., Фомин А. С. , Глазунов В. А. , Скворцов С. А. Решение прямой задачи о положениях для пятиподвижного механизма гибридной (параллельно-последовательной) структуры // Технологическое обеспечение и повышение качества изделий машиностроения и авиакосмической отрасли: сборник научных статей / Под общ. ред. Д. И. Петрешина. Брянск: БГТУ, 2022. С. 110–113. Дата публикации: 14.10.2022
Новые механизмы робототехнических и измерительных систем / Под ред. В. А. Глазунова, С. В. Хейло. М.: Техносфера, 2022. 244 с. ISBN 978‑5‑94836‑647‑0. Рецензенты: академик РАН Алешин Н. П., академик РАН Ерохин М. Н.
Скворцов С. А., Ковалева Н. Л., Ласточкин А. Б. , Азиков Н. С. , Демидов С. М. Кинематический анализ модифицированного механизма ротопода с четырьмя кинематическими цепями // Станкоинструмент. 2023. № 4. С. 70–76.
Авторы
Глазунов Виктор Аркадьевич – доктор технических наук, профессор, директор, Институт машиноведения им. А. А. Благонравова РАН, Москва
Скворцов Сергей Александрович – кандидат технических наук, старший научный сотрудник, Институт машиноведения им. А. А. Благонравова РАН, Москва
Ковалева Наталья Львовна – кандидат технических наук, старший научный сотрудник, Институт машиноведения им. А. А. Благонравова РАН, Москва
Климов Константин Владимирович – ведущий инженер, лаборатория робототехники, НИИ Механики МГУ им. М. В. Ломоносова, Москва
Гаврилина Любовь Васильевна – научный сотрудник, Институт машиноведения им. А. А. Благонравова РАН, Москва
В. А. Глазунов, С. А. Скворцов, Н. Л. Ковалева, К. В. Климов, Л. В. Гаврилина
Представлен алгоритм итерационного решения задач о бесконечно малых перемещениях и соответственно о скоростях модифицированного механизма ротопода с четырьмя кинематическими цепями, выходное звено которого имеет шесть степеней свободы. Рассмотренный пространственный механизм может найти применение для аддитивных технологий и робототехнических комплексов по обработке деталей сложной формы, в измерительных метрологических системах.
Пространственные механизмы параллельной структуры с круговой направляющей и различным числом кинематических цепей представляют собой модифицированные механические системы, состоящие из кинематических цепей, выходного звена и круговой направляющей. Такие модифицированные механические системы имеют повышенные функциональные характеристики, обусловленные возможностью полного кругового вращения.
В данной работе исследуется механизм ротопода с четырьмя кинематическими цепями, выходное звено которого обладает шестью степенями свободы (рис. 1).
Представленный пространственный механизм имеет основание 1 в виде круглой направляющей для кругового движения, выходное звено 2, четыре кинематические цепи с входным звеном 3 в виде каретки, начальную вращательную кинематическую пару 4 и начальную сферическую кинематическую пару с пальцем 4', сферические пары 5, промежуточные поступательные кинематические пары 6, промежуточное звено 7. В настоящей работе продолжим кинематические исследования данного механизма, представленного в статьях [8, 11], и рассмотрим решение задачи о скоростях и решение прямой задачи о положениях.
Введем следующие обозначения: точки А1, А2, А3, А4 обозначают сферические пары выходного звена; точки В1, В2, В3, В4 обозначают положение кареток основания; L – длина промежуточного звена двух штанг; Lmax и Lmin – предельные длины промежуточного звена двух других штанг; R – радиус окружности основания перемещения кареток; r – радиус окружности платформы (выходного звена).
Для исследуемого механизма координаты точек Ai выходного звена имеют значения:
P = .
Переведем координаты точек выходного звена из подвижной в неподвижную систему координат основания. Представим переход как последовательность трех вращательных движений – вначале поворот вокруг оси ОХ на угол α, затем на угол β вокруг оси OY и на угол γ вокруг оси OZ, и трех поступательных – последовательное смещение на x1, у1, z1 вдоль соответственно осей OX, OY, OZ.
Матрица, описывающая переход из подвижной системы к системе координат основания имеет следующий вид:
M = .
Запишем матричное произведение M × P, получим координаты точек выходного звена в неподвижной системе координат XYZ основания.
Для решения задачи о скоростях запишем уравнения связей, которые имеют вид неявных функций, описывающих положения штанг ротопода (рис. 1).
Уравнение связи в неявном виде для первых двух штанг А1В1 и А2В2 с постоянной длиной имеет вид:
F1 = [(A1x – R · cos(q1))2 + (A1y – R · sin(q1))2 + (A1z)2 – L2] = 0,
F2 = [(A2x – R · cos(q2))2 + (A2y – R · sin(q2))2 + (A2z)2 – L2] = 0. (1)
Запишем уравнение связи в неявном виде для двух других штанг А3В3 и А4В4 c переменной длиной:
F3 = [(A3x – R · cos(q3))2 + (A3y – R · sin(q3))2 + (A3z)2 – q52] = 0,
F4 = [(A4x – R · cos(q4))2 + (A4y – R · sin(q4))2 + (A4z)2 – q62] = 0, (2)
где i = 1, 2, 3, 4; Aix – координата точки Ai по оси Х; Aiy – координата точки Ai по оси Y; Aiz – координата точки Ai по оси Z; qi – обобщенная координата – угол радиус-вектора точки Ai по отношению положительного направления оси OX (занимаемой кареткой).
Задача о скоростях решается методом Д. Анджелеса и К. Госслена, который основан на дифференцировании уравнений связей (1) и (2).
dα + dβ + ... + dq1 = 0,
dα + dβ + ... + dq2 = 0,
dα + dβ + ... + dq3 = 0,
dα + dβ + ... + dq4 = 0,
dα + dβ + ... + dq5 = 0,
dα + dβ + ... + dq6 = 0.
Соотношения для полных дифференциалов представим в матричной форме:
A × V = (–B) × ω,
где А – матрица частных производных от неявной функции Fi по x, y, z, α, β, γ:
A = ,
В – матрица частных производных от неявной Fi функции по обобщенным координатам qi:
B = ,
V – вектор абсолютных скоростей центра выходного звена:
M = ;
ω – вектор обобщенных скоростей во вращательных шарнирах:
ω = .
Матрицы А и В отображают свойства механизма и взаимное расположение кинематических цепей. Как известно, вырожденность матрицы В свидетельствует об особом положении первого типа, когда механизм теряет одну или несколько степеней свободы, а при вырожденности матрицы А механизм приобретает неуправляемую подвижность, что соответствует вырожденности второго типа. Возможен случай третьего типа, когда обе матрицы вырождены.
Далее определим частные производные от неявной функции по абсолютным и обобщенным координатам для каждой кинематической цепи представленного механизма (рис. 1).
Для первой кинематической цепи имеем:
∂F1 / ∂α = F11; ∂F1 / ∂β = F12; ∂F1 / ∂γ = F13;
∂F1 / ∂x = F14; ∂F1 / ∂y = F15; ∂F1 / ∂z = F16; ∂F1 / ∂q1 = F17.
Соответственно для второй кинематической цепи будет:
∂F2 / ∂α = F21; ∂F2 / ∂β = F22 и т. д.
Для третьей кинематической цепи имеем:
∂F3 / ∂α = F31; ∂F3 / ∂β = F32; ∂F3 / ∂γ = F33;
∂F3 / ∂x = F34; ∂F3 / ∂y = F35; ∂F3 / ∂z = F36;
∂F3 / ∂q3 = F37; ∂F3 / ∂q5 = F38.
Соответственно для четвертой кинематической цепи будет:
∂F4 / ∂α = F41; ∂F4 / ∂β = F42; и т. д.
Для заданных параметров механизма, задавая координаты положения центра выходного звена относительно неподвижной системы координат: x; y; z; α; β; γ из уравнений (1) и (2) получим значения обобщенных координат qi.
Используя значения матриц А и В, получаем выражения для скоростей:
A × = –B × .
Таким образом решается задача о скоростях. Далее рассмотрим решение прямой задачи о положениях.
Применим полученные выражения для решения прямой задачи о положениях. Можно взять некоторое начальное положение, для которого известны как обобщенные, так и абсолютные координаты, и, давая малые приращения обобщенным координатам, находим приращения абсолютных координат:
A × = –B × .
Далее определяем значения абсолютных координат:
x1 = x + Δx; y1 = y + Δy; z1 = z + Δz;
α1 = α + Δα; β1 = β + Δβ; γ1 = γ + Δγ.
Таким образом, решается прямая задача о положениях.
Вывод
Получен алгоритм итерационного решения задач о бесконечно малых перемещениях и соответственно о скоростях модифицированного механизма ротопода с четырьмя кинематическими цепями, выходное звено которого имеет шесть степеней свободы.
Рассмотренный алгоритм итерационного решения задач о бесконечно малых перемещениях и соответственно о скоростях также может служить основой последующего кинематического анализа механизма.
Рассмотренный пространственный механизм может найти применение для аддитивных технологий и робототехнических комплексов по обработке деталей сложной формы, в измерительных метрологических системах (проверки точности деталей и т. д.).
Литература
Gough V. Е. Contribution to discussion of papers on research in automobile stability, control and in type performance // Proceedings of Mechanical Engineers: Auto Division. 1956. PP. 392–395.
Kong X., Gosselin C. Type synthesis of parallel mechanisms. Springer, 2007. 272 p.
Merlet J. P. Parallel robots. Kluwer Academic Publishers, 2006. 372 p.
Stewart D. A platform with 6 degrees of freedom // Proceedings of the Institution of Mechanical Engineers. 1965. PP. 371–386.
Глазунов В. А., Колискор А. Ш., Крайнев А. Ф. Пространственные механизмы параллельной структуры. М.: Наука? 1991. 95 с.
Глазунов В. А. Структура пространственных механизмов. Группы винтов и структурные группы // Справочник. Инженерный журнал. С приложением. 2010. 24 с.
Schmitt D. J., Benavides G. L., Bieg L. F., Kozlowski D. M. Analysis of the Rotopod: an all revolute parallel manipulator // Proceedings of the IEEE International Conference on Robotics and Automation. Leuven, Belgium. May 16–21 1998 года.
Скворцов С. А. Кинематический анализ пространственных механизмов параллельной структуры с круговой направляющей и четырьмя кинематическими цепями // Справочник. Инженерный журнал. 2016. № 5. С. 16–21.
Антонов А. В., Фомин А. С. , Глазунов В. А. , Скворцов С. А. Решение прямой задачи о положениях для пятиподвижного механизма гибридной (параллельно-последовательной) структуры // Технологическое обеспечение и повышение качества изделий машиностроения и авиакосмической отрасли: сборник научных статей / Под общ. ред. Д. И. Петрешина. Брянск: БГТУ, 2022. С. 110–113. Дата публикации: 14.10.2022
Новые механизмы робототехнических и измерительных систем / Под ред. В. А. Глазунова, С. В. Хейло. М.: Техносфера, 2022. 244 с. ISBN 978‑5‑94836‑647‑0. Рецензенты: академик РАН Алешин Н. П., академик РАН Ерохин М. Н.
Скворцов С. А., Ковалева Н. Л., Ласточкин А. Б. , Азиков Н. С. , Демидов С. М. Кинематический анализ модифицированного механизма ротопода с четырьмя кинематическими цепями // Станкоинструмент. 2023. № 4. С. 70–76.
Авторы
Глазунов Виктор Аркадьевич – доктор технических наук, профессор, директор, Институт машиноведения им. А. А. Благонравова РАН, Москва
Скворцов Сергей Александрович – кандидат технических наук, старший научный сотрудник, Институт машиноведения им. А. А. Благонравова РАН, Москва
Ковалева Наталья Львовна – кандидат технических наук, старший научный сотрудник, Институт машиноведения им. А. А. Благонравова РАН, Москва
Климов Константин Владимирович – ведущий инженер, лаборатория робототехники, НИИ Механики МГУ им. М. В. Ломоносова, Москва
Гаврилина Любовь Васильевна – научный сотрудник, Институт машиноведения им. А. А. Благонравова РАН, Москва
Отзывы читателей
